É verdadeiro ou falso?
Se
e
é convergente, então
é convergente.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a convergência de uma série alternante de termos positivos, ou seja
convergente, implicaria que a série de termos positivos
também converge. O tema aqui é distinção entre convergência condicional e absoluta de séries.
convergente, implicaria que a série de termos positivos
também converge. O tema aqui é distinção entre convergência condicional e absoluta de séries.
Passo 2
Pelo critério de Leibniz, uma série alternante
converge se
-
é monotonicamente decrescente e -
.
Contudo, isso não garante que(a série de valores absolutos) seja convergente: para isso seria necessária a convergência absoluta da série original.
Passo 3
Como contraexemplo, tome
.
A série alternante
converge (série harmônica alternante), mas
é a série harmônica, que diverge.
A série alternante
converge (série harmônica alternante), mas
é a série harmônica, que diverge.
Resposta
Falso