É verdadeiro ou falso?
Se b_{n}>0 e \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} b_{n} é convergente, então \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} é convergente.

Passo 1

O enunciado pergunta se a convergência de uma série alternante de termos positivos, ou seja \sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}b_{n}
convergente, implicaria que a série de termos positivos \sum_{n=1}^{+\infty}b_{n}
também converge. O tema aqui é distinção entre convergência condicional e absoluta de séries.

Passo 2

Pelo critério de Leibniz, uma série alternante \sum(-1)^{n-1}b_{n} converge se
  1. b_{n} é monotonicamente decrescente e
  2. b_{n}\to0.
    Contudo, isso não garante que \sum b_{n} (a série de valores absolutos) seja convergente: para isso seria necessária a convergência absoluta da série original.

Passo 3

Como contraexemplo, tome b_{n}=\tfrac1n.
A série alternante \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1}\,\tfrac1n
converge (série harmônica alternante), mas \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\tfrac1n
é a série harmônica, que diverge.

Resposta

Falso

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