É verdadeiro ou falso?
(c) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é convergente e \sum_{n=1}^{+\infty} b_{n} é divergente, então \sum_{n=1}^{+\infty}\left(a_{n}+b_{n}\right) é divergente.

Passo 1

O enunciado dá duas séries numéricas: \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}, que converge, e \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}, que diverge. Pede-se para avaliar a convergência de \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}). O conteúdo é teoria de séries infinitas e uso da propriedade de linearidade (diferença de séries).

Passo 2

Vamos usar prova por contradição. Suponha que \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}) converja. Denote
S = \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}, \quad T = \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}).
Como S e T são finitos (por hipótese), a diferença
T - S = \sum_{n=1}^{\infty}(a_{n}+b_{n}) \;-\;\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
também converge. Mas a diferença termo a termo é exatamente \sum_{n=1}^{\infty}b_{n}. Logo, \sum_{n=1}^{\infty}b_{n} convergiria, o que contraria a hipótese de divergência de \sum b_{n}.

Resposta

Verdadeiro.

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