É verdadeiro ou falso?
(c) Se
é convergente e
é divergente, então
é divergente.
(c) Se
Passo 1
O enunciado dá duas séries numéricas:
, que converge, e
, que diverge. Pede-se para avaliar a convergência de
. O conteúdo é teoria de séries infinitas e uso da propriedade de linearidade (diferença de séries).
Passo 2
Vamos usar prova por contradição. Suponha que
converja. Denote
Como
e
são finitos (por hipótese), a diferença
também converge. Mas a diferença termo a termo é exatamente
. Logo,
convergiria, o que contraria a hipótese de divergência de
.
Resposta
Verdadeiro.