É verdadeiro ou falso?
(b) Se \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} é divergente e \alpha \neq 0, então \sum_{n=1}^{+\infty} \alpha a_{n} é divergente.

Passo 1

O enunciado pede para analisar se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa:
“Se \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}a_{n} é divergente e \alpha\neq0, então \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\alpha\,a_{n} é divergente.”
O conteúdo é convergência e divergência de séries numéricas e a propriedade de multiplicação por constante. Vamos usar a definição de série em termos de soma parcial.

Passo 2

Sejam
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}a_{n}
as somas parciais de \sum a_{n} e
T_{N}=\sum_{n=1}^{N}\alpha\,a_{n}.
Mas é imediato que
T_{N}=\alpha\,S_{N}
para todo N. Se \sum a_{n} diverge, isto é, S_{N} não tende a um limite finito quando N\to+\infty, então \alpha\,S_{N} também não pode tender a um limite finito (já que \alpha\neq0 apenas escala S_{N}). Logo \sum\alpha\,a_{n} diverge.

Resposta

Verdadeiro.

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