Verdadeiro ou falso. Classifique cada sentença como \mathbf{V} (verdadeira) ou \mathbf{F} (falsa).
i) O domínio de f(x, y)=\sqrt{x y} é dado por x y \geq 0.
ii) Se \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y) existe, então esse limite independe do caminho escolhido para (x, y) \rightarrow(a, b).
iii) Para f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}, vale f_{x}(x, y)=\frac{2 y}{(x+y)^{2}}, sempre que x+y \neq 0.
iv) Se uma função tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança do ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.
v) Na regra da cadeia, se z=f(x, y), x=x(u, v) e y=y(u, v), então
\frac{\partial z}{\partial u}=f_{x} \frac{\partial x}{\partial u}+f_{y} \frac{\partial y}{\partial u}
vi) A aproximação linear de uma função em um ponto fornece sempre o valor exato da função em qualquer ponto do plano.

Passo 1

O problema pede para classificar cada uma das seis sentenças como verdadeira ( \mathbf{V}) ou falsa ( \mathbf{F}). Vou listar as seis sentenças exatamente como aparecem para termos claro o que cada item exige:
  1. i) O domínio de f(x, y)=\sqrt{x y} é dado por x y \geq 0.
  2. ii) Se \lim _{(x, y) \rightarrow(a, b)} f(x, y) existe, então esse limite independe do caminho escolhido para (x, y) \rightarrow(a, b).
  3. iii) Para f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}, vale f_{x}(x, y)=\frac{2 y}{(x+y)^{2}}, sempre que x+y \neq 0.
  4. iv) Se uma função tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança do ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.
  5. v) Na regra da cadeia, se z=f(x, y), x=x(u, v) e y=y(u, v), então
\frac{\partial z}{\partial u}=f_{x} \frac{\partial x}{\partial u}+f_{y} \frac{\partial y}{\partial u}
  1. vi) A aproximação linear de uma função em um ponto fornece sempre o valor exato da função em qualquer ponto do plano.
Nos próximos passos eu vou analisar cada sentença, explicando a teoria necessária e mostrando exemplos ou cálculos que comprovem se cada uma é verdadeira ou falsa. Vou fazer isso passo a passo e bem devagar, como se estivéssemos estudando juntos para a prova.

Passo 2

Sentença: O domínio de f(x,y)=\sqrt{x y} é dado por x y \geq 0.
Explicação e justificativa didática:
  • A função raiz quadrada real \sqrt{t} está definida (no conjunto dos números reais) apenas quando o argumento t é maior ou igual a zero, isto é, t\ge 0.
  • Aqui o argumento é t= x y. Portanto, para que f(x,y) seja um número real, precisamos de
x y \ge 0.
  • Isso significa que os pares (x,y) com x e y ambos não negativos ( x\ge0, y\ge0), ou ambos não positivos ( x\le0, y\le0), pertencem ao domínio; pares com sinais opostos não pertencem.
  • Exemplos simples: (1,1) tem 1\cdot1=1\ge0 — pertence ao domínio; (1,-1) tem 1\cdot(-1)=-1<0 — não pertence.
Conclusão: a condição x y \ge 0 é exatamente a condição para a expressão sob a raiz ser válida como número real, então a sentença é verdadeira.

Passo 3

Sentença: Se \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) existe, então esse limite independe do caminho escolhido.
Explicação e justificativa didática:
  • Definição (intuitiva): dizer que \lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)=L significa que, quando (x,y) se aproxima de (a,b) por quaisquer sequências ou curvas, o valor de f(x,y) se aproxima de L.
  • Forma mais formal (esquema \varepsilon- \delta): para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}<\delta, então |f(x,y)-L|<\varepsilon. Note que essa definição não faz referência a uma curva específica: ela exige a mesma aproximação L para todas as direções.
  • Portanto, se o limite existe (ou seja, existe L que satisfaz a definição), então qualquer caminho que aproxime (x,y) a (a,b) deve levar f(x,y) a L. Em linguagem curta: existência do limite implica independência do caminho.
  • Comentário pedagógico: quando um limite NÃO existe, uma forma comum de mostrar isso é encontrar dois caminhos com limites diferentes — daí decorre que não há um único L. Mas o contraponto é: existência ⇒ mesmo valor por qualquer caminho.
Conclusão: a sentença é verdadeira.

Passo 4

Sentença: Para f(x, y)=\frac{x-y}{x+y}, vale f_{x}(x, y)=\frac{2 y}{(x+y)^{2}}, sempre que x+y \neq 0.
Cálculo passo a passo da derivada parcial f_x:
  • Escrever f como quociente: f(x,y)=\dfrac{N(x,y)}{D(x,y)} com N(x,y)=x-y e D(x,y)=x+y.
  • Regra do quociente (aplicada a derivadas parciais): para derivar em relação a x,
f_x=\frac{N_x D - N D_x}{D^2},
onde N_x=\dfrac{\partial N}{\partial x} e D_x=\dfrac{\partial D}{\partial x}.
  • Calcular as derivadas:
    • N_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
    • D_x=\dfrac{\partial}{\partial x}(x+y)=1.
  • Substituir:
f_x=\frac{1\cdot(x+y)-(x-y)\cdot 1}{(x+y)^2}=\frac{x+y-x+y}{(x+y)^2}=\frac{2y}{(x+y)^2}.
  • Observação: a fórmula só faz sentido quando D=(x+y)\neq 0, porque não podemos dividir por zero.
Conclusão: o cálculo confirma a fórmula fornecida; a sentença é verdadeira.

Passo 5

Sentença: Se uma função tem derivadas parciais contínuas em uma vizinhança do ponto, então ela é diferenciável nesse ponto.
Explicação e justificativa didática:
  • Definição de diferenciabilidade em (a,b): uma função f(x,y) é diferenciável em (a,b) se existe um plano tangente linear (uma aproximação linear) tal que o erro ao aproximar f por esse plano é pequeno de ordem superior ao tamanho do deslocamento. Formalmente, há um linear L(h,k)=A h+B k tal que
f(a+h,b+k)=f(a,b)+L(h,k)+o(\sqrt{h^2+k^2}),
ou seja, o resto dividido por \sqrt{h^2+k^2} tende a 0 quando (h,k)\to(0,0).
  • Teorema padrão (condição suficiente): se \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial f}{\partial y} existem numa vizinhança de (a,b) e são contínuas em (a,b), então f é diferenciável em (a,b).
  • Intuição: continuidade das derivadas parciais garante que a melhor aproximação linear formada por essas derivadas realmente aproxima f com erro pequeno (o resto tem ordem menor que a distância).
  • Observação pedagógica: a hipótese exige continuidade das parciais numa vizinhança (não apenas que as parciais existam no ponto). Há exemplos onde as parciais existem em todo ponto mas não são contínuas em um ponto e a função não é diferenciável ali — por isso a continuidade é importante.
Conclusão: a sentença é verdadeira.

Passo 6

Sentença: Na regra da cadeia, se z=f(x, y), x=x(u, v) e y=y(u, v), então
\frac{\partial z}{\partial u}=f_{x} \frac{\partial x}{\partial u}+f_{y} \frac{\partial y}{\partial u}.
Explicação e justificativa didática:
  • A fórmula é a forma direta da regra da cadeia para composição z(u,v)=f(x(u,v),y(u,v)).
  • Interpretação (com notação completa): para cada (u,v),
\frac{\partial z}{\partial u}(u,v)=f_x\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot \frac{\partial x}{\partial u}(u,v) + f_y\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\cdot \frac{\partial y}{\partial u}(u,v).
Ou seja, os termos f_x e f_y devem ser avaliados no ponto (x(u,v),y(u,v)). Muitas vezes isso é abreviado escrevendo f_x e f_y sem repetir a composição, mas o entendimento correto inclui a avaliação.
  • Derivação rápida por incrementos: para pequenos incrementos du,
    • dx=\dfrac{\partial x}{\partial u}du+\cdots, dy=\dfrac{\partial y}{\partial u}du+\cdots,
    • e dz\approx f_x dx + f_y dy, daí dividir por du e passar ao limite.
  • Condições técnicas: é necessário que f,x,y sejam diferenciáveis nas respectivas variáveis para aplicar a regra. Sob hipóteses usuais (derivadas parciais contínuas), a fórmula vale.
Conclusão: a sentença é verdadeira (desde que se entenda que f_x e f_y são avaliadas no ponto (x(u,v),y(u,v))).

Passo 7

Sentença: A aproximação linear de uma função em um ponto fornece sempre o valor exato da função em qualquer ponto do plano.
Explicação e contraexemplo (didático):
  • A aproximação linear (plano tangente) de f em (a,b) é
L(x,y)=f(a,b)+f_x(a,b)\,(x-a)+f_y(a,b)\,(y-b).
  • Essa expressão é uma aproximação local: perto de (a,b) os valores de f e L ficam próximos, e o erro tende a zero relativo à distância quando (x,y)\to (a,b). Mas “aproximação” não significa “igual para todo ponto”.
  • Só teremos igualdade para todos os pontos (x,y) do plano se e somente se f for uma função afim (linear mais constante) do tipo
f(x,y)=\alpha + \beta x + \gamma y
para alguns números \alpha,\beta,\gamma. Nesse caso o plano tangente em qualquer ponto coincide com a própria função globalmente.
  • Contraexemplo simples: tome f(x,y)=x^{2}+y^{2}. No ponto (0,0) temos f(0,0)=0, f_x(0,0)=0, f_y(0,0)=0. Assim a aproximação linear em (0,0) é
L(x,y)=0.
Mas f(1,0)=1\neq 0=L(1,0). Logo a aproximação linear em (0,0) não fornece o valor exato em (1,0). Portanto a afirmação “sempre” é falsa.
  • Intuição final: aproximar localmente não é o mesmo que reproduzir globalmente, salvo no caso especial de funções afins.
Conclusão: a sentença é falsa.

Resposta

i) \mathbf{V}
ii) \mathbf{V}
iii) \mathbf{V}
iv) \mathbf{V}
v) \mathbf{V}
vi) \mathbf{F}

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