O volume do conjunto de todos os
tais que
e
é
Escreva sua reposta com aproximação de duas casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá o conjunto de pontos
que satisfazem as três condições:
-
, -
, -
.
O problema pede o volume desse conjunto e pede a resposta com aproximação de duas casas decimais.
Passo 2
Ideia geométrica e tradução em integral. Para cada ponto
fixo com
e
no quadrado
, a coordenada
varia do valor inferior
até o valor superior
. Portanto a “altura” em
sobre o ponto
é
Logo o volume total é a integral dupla sobre o domínio
da função altura. Em linguagem de integrais:
(Isto é a mesma ideia de calcular volume por fatias; matematicamente é consequência do teorema de Fubini aplicado ao integrando
na região tridimensional.)
Passo 3
Escrevendo a integral em termos de integrais iteradas, tomando a ordem
:
Como a região
é um produto de intervalos e a função separa bem em termos de
e
, podemos separar os termos:
Passo 4
Calcular cada termo separadamente.
Primeiro termo:
Segundo termo (dependência só em
):
Terceiro termo (simétrico, depende só de
):
Passo 5
Somando os termos:
Em forma decimal isso é
. A seguir dou a aproximação pedida.