O volume do conjunto de todos os (x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} tais que 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1 e x^{2}+y^{2} \leq z \leq 2 é
Escreva sua reposta com aproximação de duas casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá o conjunto de pontos (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 que satisfazem as três condições:
  • 0 \leq x \leq 1,
  • 0 \leq y \leq 1,
  • x^{2}+y^{2}\leq z \leq 2.
O problema pede o volume desse conjunto e pede a resposta com aproximação de duas casas decimais.

Passo 2

Ideia geométrica e tradução em integral. Para cada ponto (x,y) fixo com x e y no quadrado [0,1]\times[0,1], a coordenada z varia do valor inferior z_{\text{inf}}=x^{2}+y^{2} até o valor superior z_{\text{sup}}=2. Portanto a “altura” em z sobre o ponto (x,y) é
\text{altura}(x,y)=2-(x^{2}+y^{2}).
Logo o volume total é a integral dupla sobre o domínio D=[0,1]\times[0,1] da função altura. Em linguagem de integrais:
V=\iint_{D}\bigl(2-(x^{2}+y^{2})\bigr)\,dA.
(Isto é a mesma ideia de calcular volume por fatias; matematicamente é consequência do teorema de Fubini aplicado ao integrando 1 na região tridimensional.)

Passo 3

Escrevendo a integral em termos de integrais iteradas, tomando a ordem dx\,dy:
V=\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1}\bigl(2-x^{2}-y^{2}\bigr)\,dx\,dy.
Como a região D é um produto de intervalos e a função separa bem em termos de x e y, podemos separar os termos:
V=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2\,dx\,dy-\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\,dy-\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\,dy.

Passo 4

Calcular cada termo separadamente.
Primeiro termo:
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}2\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\bigl(2\cdot(1-0)\bigr)\,dy = \int_{0}^{1}2\,dy = 2\cdot(1-0)=2.
Segundo termo (dependência só em x):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\Bigl(\int_{0}^{1}x^{2}\,dx\Bigr)\,dy = \int_{0}^{1}\Bigl[\frac{x^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1}\,dy = \int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dy = \frac{1}{3}\cdot(1-0)=\frac{1}{3}.
Terceiro termo (simétrico, depende só de y):
\int_{0}^{1}\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\,dy = \int_{0}^{1}\Bigl(\int_{0}^{1}y^{2}\,dx\Bigr)\,dy = \int_{0}^{1}\bigl(y^{2}\cdot 1\bigr)\,dy = \Bigl[\frac{y^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{3}.

Passo 5

Somando os termos:
V=2-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=2-\frac{2}{3}=\frac{4}{3}.
Em forma decimal isso é 1,333\ldots. A seguir dou a aproximação pedida.

Resposta

1,33

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