Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Qualquer elipsoide intersecta o eixo
em exatamente dois pontos.
Qualquer elipsoide intersecta o eixo
Passo 1
O enunciado dá a afirmação: “Qualquer elipsoide intersecta o eixo
em exatamente dois pontos.”
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar:
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar:
- "Eixo
" significa a reta formada pelos pontos de coordenadas para todo . - Por “elipsoide” entende-se uma superfície do tipo elipsoide (uma superfície fechada e convexa obtida por deslocamento e escalamento de uma esfera), que pode ser escrita na forma padrão deslocada e escalada.
Passo 2
Vou escrever a equação geral de um elipsoide com centro em
e sem rotação (eixos alinhados com os eixos coordenados):
onde
,
,
.
Explicando a fórmula: cada termo representa a distância (ao quadrado) de uma coordenada ao centro, dividida pelo quadrado do semi-eixo correspondente; o conjunto dos pontos que satisfazem essa soma igual a é o elipsoide. As constantes
são os semieixos nas direções
respectivamente, e
é o centro do elipsoide.
Explicando a fórmula: cada termo representa a distância (ao quadrado) de uma coordenada ao centro, dividida pelo quadrado do semi-eixo correspondente; o conjunto dos pontos que satisfazem essa soma igual a
Passo 3
Para achar a interseção do elipsoide com o eixo
substituímos
e
na equação — porque pontos do eixo
têm as coordenadas
. Fazendo isso:
Isolando o termo em
obtemos
Multiplicando por
,
Esse é um quadrado igual a uma quantidade constante; o número de soluções reais para
depende do sinal do lado direito.
Passo 4
Analisando os possíveis sinais do lado direito:
- Se
então
é igual a um número positivo e há duas soluções reais para
, correspondendo a dois pontos distintos do eixo
onde o elipsoide corta o eixo.
- Se
então
e existe exatamente uma solução
; o elipsoide é tangente ao eixo
e intersecta-o em um único ponto.
- Se
então o lado direito é negativo e não há solução real para
; o elipsoide não intersecta o eixo
.
Ou seja, dependendo da posição do centro
em relação aos semieixos
, a interseção pode ter dois pontos, um ponto (tangência) ou nenhum ponto.
Passo 5
Vou dar exemplos concretos para cada caso (assim fica mais fácil de ver na prova):
- Dois pontos (caso típico): elipsoide centrado na origem com
, :
Substituindo
obtemos
, logo
. Dois pontos de interseção.
- Um ponto (tangência): esfera de raio
centrada em , que é um caso especial de elipsoide com e :
Substituindo
dá
. Apenas um ponto de interseção (tangência).
- Nenhum ponto: esfera de raio
centrada em :
Substituindo
dá
, impossível — nenhuma interseção real.
Esses exemplos deixam claro que não é verdade que todo elipsoide corte o eixo
em exatamente dois pontos.
Passo 6
Conclusão lógica: como existem elipsoides que não intersectam o eixo
e existem elipsoides que são tangentes ao eixo
(interseção num ponto), a afirmação “Qualquer elipsoide intersecta o eixo
em exatamente dois pontos” é falsa.
Resposta
Falso.