Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Qualquer elipsoide intersecta o eixo z em exatamente dois pontos.

Passo 1

O enunciado dá a afirmação: “Qualquer elipsoide intersecta o eixo z em exatamente dois pontos.”
A tarefa é decidir se essa afirmação é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Informações relevantes implícitas no enunciado que vou usar:
  • "Eixo z" significa a reta formada pelos pontos de coordenadas (0,0,z) para todo z\in\mathbb{R}.
  • Por “elipsoide” entende-se uma superfície do tipo elipsoide (uma superfície fechada e convexa obtida por deslocamento e escalamento de uma esfera), que pode ser escrita na forma padrão deslocada e escalada.

Passo 2

Vou escrever a equação geral de um elipsoide com centro em (x_0,y_0,z_0) e sem rotação (eixos alinhados com os eixos coordenados):
\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1,
onde a>0, b>0, c>0.
Explicando a fórmula: cada termo representa a distância (ao quadrado) de uma coordenada ao centro, dividida pelo quadrado do semi-eixo correspondente; o conjunto dos pontos que satisfazem essa soma igual a 1 é o elipsoide. As constantes a,b,c são os semieixos nas direções x,y,z respectivamente, e (x_0,y_0,z_0) é o centro do elipsoide.

Passo 3

Para achar a interseção do elipsoide com o eixo z substituímos x=0 e y=0 na equação — porque pontos do eixo z têm as coordenadas (0,0,z). Fazendo isso:
\frac{(0-x_0)^2}{a^2}+\frac{(0-y_0)^2}{b^2}+\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1.
Isolando o termo em z obtemos
\frac{(z-z_0)^2}{c^2}=1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}.
Multiplicando por c^2,
(z-z_0)^2 = c^2\left(1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}\right).
Esse é um quadrado igual a uma quantidade constante; o número de soluções reais para z depende do sinal do lado direito.

Passo 4

Analisando os possíveis sinais do lado direito:
  • Se
1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}>0,
então (z-z_0)^2 é igual a um número positivo e há duas soluções reais para z, correspondendo a dois pontos distintos do eixo z onde o elipsoide corta o eixo.
  • Se
1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}=0,
então (z-z_0)^2=0 e existe exatamente uma solução z=z_0; o elipsoide é tangente ao eixo z e intersecta-o em um único ponto.
  • Se
1-\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}<0,
então o lado direito é negativo e não há solução real para z; o elipsoide não intersecta o eixo z.
Ou seja, dependendo da posição do centro (x_0,y_0) em relação aos semieixos a,b, a interseção pode ter dois pontos, um ponto (tangência) ou nenhum ponto.

Passo 5

Vou dar exemplos concretos para cada caso (assim fica mais fácil de ver na prova):
  1. Dois pontos (caso típico): elipsoide centrado na origem com a=b=1, c=2:
\frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{1^2}+\frac{z^2}{2^2}=1.
Substituindo x=0,y=0 obtemos z^2/4=1, logo z=\pm 2. Dois pontos de interseção.
  1. Um ponto (tangência): esfera de raio 1 centrada em (1,0,0), que é um caso especial de elipsoide com a=b=c=1 e (x_0,y_0,z_0)=(1,0,0):
( x-1)^2+y^2+z^2=1.
Substituindo x=0,y=0 (0-1)^2+0+z^2=1\Rightarrow 1+z^2=1\Rightarrow z=0. Apenas um ponto de interseção (tangência).
  1. Nenhum ponto: esfera de raio 1 centrada em (2,0,0):
( x-2)^2+y^2+z^2=1.
Substituindo x=0,y=0 (0-2)^2+z^2=1\Rightarrow 4+z^2=1\Rightarrow z^2=-3, impossível — nenhuma interseção real.
Esses exemplos deixam claro que não é verdade que todo elipsoide corte o eixo z em exatamente dois pontos.

Passo 6

Conclusão lógica: como existem elipsoides que não intersectam o eixo z e existem elipsoides que são tangentes ao eixo z (interseção num ponto), a afirmação “Qualquer elipsoide intersecta o eixo z em exatamente dois pontos” é falsa.

Resposta

Falso.

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