Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
A interseção do paraboloide hiperbólico
z=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}
com o plano x y é um par de retas que se intersectam.

Passo 1

O enunciado pergunta se a interseção entre a superfície
z=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}
e o plano x y é um par de retas que se intersectam. Informações dadas e suposições necessárias:
  • A superfície é S:\;z=\dfrac{y^{2}}{b^{2}}-\dfrac{x^{2}}{a^{2}}.
  • O plano x y é o plano z=0.
  • Assume-se que a\neq0 e b\neq0 (caso contrário a fórmula do paraboloide fica degenerada e a interseção precisa de análise separada).
    O objetivo é determinar se a curva S\cap\{z=0\} é exatamente um par de retas que se cruzam.

Passo 2

Para obter a interseção devemos impor a equação do plano z=0 na equação da superfície. Ou seja, substituir z=0 em
z=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}.
Fica então a equação da curva de interseção:
0=\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}.

Passo 3

Reescrevendo a equação da interseção isolando os termos quadráticos:
\frac{y^{2}}{b^{2}}=\frac{x^{2}}{a^{2}}.
Multiplicando ambos os lados por a^{2}b^{2} (válido pois a\neq0 e b\neq0) dá
a^{2}y^{2}=b^{2}x^{2}.

Passo 4

Reconhecemos uma diferença de quadrados se trazermos tudo para um lado. Por exemplo:
\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{x^{2}}{a^{2}}=0
é da forma u^{2}-v^{2}=0 com u=\dfrac{y}{b} e v=\dfrac{x}{a}. A identidade algébrica fundamental é
u^{2}-v^{2}=(u-v)(u+v).
Aplicando aqui obtemos (fatorando):
\left(\frac{y}{b}-\frac{x}{a}\right)\left(\frac{y}{b}+\frac{x}{a}\right)=0.

Passo 5

Cada fator linear dá uma reta no plano z=0. Das igualdades
\frac{y}{b}-\frac{x}{a}=0\quad\text{ou}\quad\frac{y}{b}+\frac{x}{a}=0
segue, respectivamente,
y=\frac{b}{a}\,x\quad\text{e}\quad y=-\frac{b}{a}\,x.
Portanto a curva de interseção é a união dessas duas retas, que passam pela origem (0,0,0) e se cruzam aí.

Passo 6

Interpretação geométrica e observação final: a superfície dada é o paraboloide hiperbólico (um “sela”) e o corte por z=0 corresponde às suas direções assintóticas no plano horizontal — precisamente duas retas que se intersectam na origem. Não há outras soluções além dessas retas quando a e b são diferentes de zero.

Resposta

Verdadeiro.

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