Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
A interseção do paraboloide hiperbólico
com o plano
é um par de retas que se intersectam.
A interseção do paraboloide hiperbólico
Passo 1
O enunciado pergunta se a interseção entre a superfície
e o plano
é um par de retas que se intersectam. Informações dadas e suposições necessárias:
- A superfície é
. - O plano
é o plano . - Assume-se que
e (caso contrário a fórmula do paraboloide fica degenerada e a interseção precisa de análise separada).
O objetivo é determinar se a curvaé exatamente um par de retas que se cruzam.
Passo 2
Para obter a interseção devemos impor a equação do plano
na equação da superfície. Ou seja, substituir
em
Fica então a equação da curva de interseção:
Passo 3
Reescrevendo a equação da interseção isolando os termos quadráticos:
Multiplicando ambos os lados por
(válido pois
e
) dá
Passo 4
Reconhecemos uma diferença de quadrados se trazermos tudo para um lado. Por exemplo:
é da forma
com
e
. A identidade algébrica fundamental é
Aplicando aqui obtemos (fatorando):
Passo 5
Cada fator linear dá uma reta no plano
. Das igualdades
segue, respectivamente,
Portanto a curva de interseção é a união dessas duas retas, que passam pela origem
e se cruzam aí.
Passo 6
Interpretação geométrica e observação final: a superfície dada é o paraboloide hiperbólico (um “sela”) e o corte por
corresponde às suas direções assintóticas no plano horizontal — precisamente duas retas que se intersectam na origem. Não há outras soluções além dessas retas quando
e
são diferentes de zero.
Resposta
Verdadeiro.