Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Qualquer elipsoide é uma superfície de revolução.
Qualquer elipsoide é uma superfície de revolução.
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação “Qualquer elipsoide é uma superfície de revolução” é verdadeira ou falsa e justificar.
Informações relevantes fornecidas / que vamos usar:
- A forma geral de um elipsoide centrado na origem pode ser descrita pela equação
onde
são os semieixos (essas constantes vêm da definição padrão de elipsoide).
- Definição prática que usaremos de superfície de revolução: é a superfície obtida ao girar uma curva plana em torno de um eixo. Uma propriedade chave é que a superfície é invariante por rotações em torno desse eixo — isto é, se a superfície for de revolução em torno do eixo
, então rotacionar as coordenadas por qualquer ângulo deixa a equação da superfície inalterada.
Passo 2
O que significa, em termos algébricos, ser "invariante por rotações em torno do eixo
"?
- Uma rotação no plano
de ângulo transforma em
- Se uma superfície é de revolução em torno do eixo
, então substituir por na equação deve produzir exatamente a mesma equação, para todo . Essa invariância implica que as expressões que envolvem e na equação não podem depender do ângulo .
Passo 3
Aplique isso ao elipsoide geral
e veja o que a invariância exige.
- Pegamos apenas a parte que envolve
:
- Substituindo
obtemos
- Expandindo (vou mostrar os termos importantes):
- Note o termo misto
multiplicado por e por . Para que seja igual a para todo e todo , esse termo misto deve ser sempre zero (pois original não tem termo em ). Assim precisamos de
- Dessa condição segue
, e como temos .
Passo 4
Interpretação do resultado e conclusão lógica:
- A análise mostra que, se o elipsoide é invariante por rotações em torno do eixo
(ou seja, se for superfície de revolução com esse eixo), então obrigatoriamente . Analogamente, para ser de revolução em torno do eixo precisaria , e em torno do eixo precisaria . - Portanto, o único tipo de elipsoide que é superfície de revolução é o que tem dois semieixos iguais — ou seja, um esferoide (esferoide oblato ou prolato), com por exemplo
ou permutações equivalentes. - Um elipsoide com três semieixos distintos (
) não é invariante sob rotações contínuas e, portanto, não pode ser obtido girando uma curva plana em torno de um eixo: não é superfície de revolução.
Passo 5
Exemplo concreto (contraexemplo) para evidenciar que a afirmação é falsa:
- Considere o elipsoide dado por
ou seja
,
,
. Aqui
, logo pelas observações anteriores este elipsoide não é invariante por rotações em torno de nenhum dos eixos coordenados e, portanto, não é uma superfície de revolução.
Resposta
Falso.