Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Qualquer elipsoide é uma superfície de revolução.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação “Qualquer elipsoide é uma superfície de revolução” é verdadeira ou falsa e justificar.
Informações relevantes fornecidas / que vamos usar:
  • A forma geral de um elipsoide centrado na origem pode ser descrita pela equação
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
onde a,b,c>0 são os semieixos (essas constantes vêm da definição padrão de elipsoide).
  • Definição prática que usaremos de superfície de revolução: é a superfície obtida ao girar uma curva plana em torno de um eixo. Uma propriedade chave é que a superfície é invariante por rotações em torno desse eixo — isto é, se a superfície for de revolução em torno do eixo z, então rotacionar as coordenadas (x,y) por qualquer ângulo \theta deixa a equação da superfície inalterada.

Passo 2

O que significa, em termos algébricos, ser "invariante por rotações em torno do eixo z"?
  • Uma rotação no plano xy de ângulo \theta transforma (x,y) em
x' = x\cos\theta - y\sin\theta,\qquad y' = x\sin\theta + y\cos\theta.
  • Se uma superfície é de revolução em torno do eixo z, então substituir (x,y) por (x',y') na equação deve produzir exatamente a mesma equação, para todo \theta. Essa invariância implica que as expressões que envolvem x e y na equação não podem depender do ângulo \theta.

Passo 3

Aplique isso ao elipsoide geral \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1 e veja o que a invariância exige.
  • Pegamos apenas a parte que envolve x,y:
E(x,y):=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}.
  • Substituindo (x',y') obtemos
E(x',y')=\frac{(x\cos\theta - y\sin\theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{(x\sin\theta + y\cos\theta)^{2}}{b^{2}}.
  • Expandindo (vou mostrar os termos importantes):
E(x',y')=x^{2}\!\left(\frac{\cos^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\sin^{2}\theta}{b^{2}}\right) + y^{2}\!\left(\frac{\sin^{2}\theta}{a^{2}}+\frac{\cos^{2}\theta}{b^{2}}\right) + 2xy\sin\theta\cos\theta\!\left(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\right).
  • Note o termo misto xy multiplicado por \sin\theta\cos\theta e por \left(\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}\right). Para que E(x',y') seja igual a E(x,y) para todo \theta e todo (x,y), esse termo misto deve ser sempre zero (pois E(x,y) original não tem termo em xy). Assim precisamos de
\frac{1}{b^{2}}-\frac{1}{a^{2}}=0.
  • Dessa condição segue a^{2}=b^{2}, e como a,b>0 temos a=b.

Passo 4

Interpretação do resultado e conclusão lógica:
  • A análise mostra que, se o elipsoide é invariante por rotações em torno do eixo z (ou seja, se for superfície de revolução com esse eixo), então obrigatoriamente a=b. Analogamente, para ser de revolução em torno do eixo x precisaria b=c, e em torno do eixo y precisaria a=c.
  • Portanto, o único tipo de elipsoide que é superfície de revolução é o que tem dois semieixos iguais — ou seja, um esferoide (esferoide oblato ou prolato), com por exemplo a=b\ne c ou permutações equivalentes.
  • Um elipsoide com três semieixos distintos ( a\ne b\ne c) não é invariante sob rotações contínuas e, portanto, não pode ser obtido girando uma curva plana em torno de um eixo: não é superfície de revolução.

Passo 5

Exemplo concreto (contraexemplo) para evidenciar que a afirmação é falsa:
  • Considere o elipsoide dado por
\frac{x^{2}}{1^{2}}+\frac{y^{2}}{2^{2}}+\frac{z^{2}}{3^{2}}=1,
ou seja a=1, b=2, c=3. Aqui a\ne b, logo pelas observações anteriores este elipsoide não é invariante por rotações em torno de nenhum dos eixos coordenados e, portanto, não é uma superfície de revolução.

Resposta

Falso.

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