Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação polinomial de grau quatro em
e
.
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação polinomial de grau quatro em
Passo 1
O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Afirmação dada: “Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação polinomial de grau quatro em
e
.”
Informações que temos (explicitadas):
- A afirmação fala de “superfície quádrica”.
- A afirmação relaciona essa superfície a uma equação polinomial cujo grau seria
nas variáveis . - Precisa-se dizer verdadeiro ou falso e justificar.
Passo 2
Definição clara do termo principal: o que é uma superfície quádrica?
- Uma superfície quádrica (ou simplesmente “quádrica”) é, por definição, o conjunto de pontos
que satisfazem uma equação polinomial implícita de grau em . Em notação: é o conjunto de soluções de
onde
é um polinômio com termos cujo grau total máximo é
. Ou seja,
é da forma geral
com constantes
. Exemplos típicos de quádricas: esfera, elipsoide, paraboloide, cone, hiperbolóide — todos têm equações com monômios de grau no máximo
.
Explicando o que significa “grau” aqui: o grau total de um monômio
é
. O grau do polinômio é o maior grau total entre todos os monômios presentes.
Passo 3
Mostrar por que a afirmação é falsa — exemplo concreto.
-
A afirmação diz que uma superfície quádrica seria o gráfico de uma equação polinomial de grau
. Isso contradiz a definição que acabei de dar: quádrica = polinômio de grau , não de grau . -
Contraexemplo direto: a esfera
é uma superfície quádrica (grau
). Se a afirmação fosse verdadeira, a esfera também teria que ser descrita por uma equação polinomial de grau
(como definição característica), o que não faz sentido: embora seja possível multiplicar ambos os lados por um polinômio e obter outras relações, a propriedade definidora é que a menor (ou natural) equação polinomial que descreve a esfera tem grau
. Chamamos de “quádrica” exatamente por esse fato.
Passo 4
Esclarecer a confusão possível com “grau quatro” (quartica) e com “gráfico”.
- Uma superfície dada por um polinômio de grau
é chamada de superfície quartica (ou cúbica/quartica conforme grau), não de quádrica. Por exemplo, a superfície
é uma superfície de grau
(uma quartica), e não uma quádrica.
- Outra ambiguidade: se alguém disser “gráfico de uma função polinomial”, poderia querer dizer um gráfico no sentido
. Mesmo aí, se for um polinômio de grau em , o gráfico terá monômios com grau até e, portanto, não é necessariamente uma quádrica; no máximo poderia ser reescrito implicitamente como , e esse tem grau , não . Uma quádrica pode às vezes ser escrita como gráfico com polinomial, mas então tem grau (por exemplo, o paraboloide é quádrica).
Passo 5
Resumo didático e conclusão final (tom motivador)
- Resumindo de forma bem direta: “quádrica” refere-se ao grau
. Grau corresponde a outro tipo de superfície (quartica). Então a afirmação do enunciado está incorreta. Não se preocupe: decorar que "quádrica = grau " e "quartica = grau " resolve muita confusão em provas.
Força aí — essa é uma questão rápida: lembra que a palavra-chave é o número do grau que aparece no nome.
Resposta
Falso.