Verdadeiro/Falso Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação polinomial de grau quatro em x, y e z.

Passo 1

O que o enunciado pede: decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e explicar por quê.
Afirmação dada: “Uma superfície quádrica é o gráfico de uma equação polinomial de grau quatro em x, y e z.”
Informações que temos (explicitadas):
  • A afirmação fala de “superfície quádrica”.
  • A afirmação relaciona essa superfície a uma equação polinomial cujo grau seria 4 nas variáveis x, y, z.
  • Precisa-se dizer verdadeiro ou falso e justificar.

Passo 2

Definição clara do termo principal: o que é uma superfície quádrica?
  • Uma superfície quádrica (ou simplesmente “quádrica”) é, por definição, o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem uma equação polinomial implícita de grau 2 em x,y,z. Em notação: é o conjunto de soluções de
P(x,y,z)=0,
onde P é um polinômio com termos cujo grau total máximo é 2. Ou seja, P é da forma geral
a_{1}x^2+a_{2}y^2+a_{3}z^2+a_{4}xy+a_{5}xz+a_{6}yz+a_{7}x+a_{8}y+a_{9}z+a_{10}=0,
com constantes a_i. Exemplos típicos de quádricas: esfera, elipsoide, paraboloide, cone, hiperbolóide — todos têm equações com monômios de grau no máximo 2.
Explicando o que significa “grau” aqui: o grau total de um monômio x^i y^j z^k é i+j+k. O grau do polinômio é o maior grau total entre todos os monômios presentes.

Passo 3

Mostrar por que a afirmação é falsa — exemplo concreto.
  • A afirmação diz que uma superfície quádrica seria o gráfico de uma equação polinomial de grau 4. Isso contradiz a definição que acabei de dar: quádrica = polinômio de grau 2, não de grau 4.
  • Contraexemplo direto: a esfera
x^2+y^2+z^2=1
é uma superfície quádrica (grau 2). Se a afirmação fosse verdadeira, a esfera também teria que ser descrita por uma equação polinomial de grau 4 (como definição característica), o que não faz sentido: embora seja possível multiplicar ambos os lados por um polinômio e obter outras relações, a propriedade definidora é que a menor (ou natural) equação polinomial que descreve a esfera tem grau 2. Chamamos de “quádrica” exatamente por esse fato.

Passo 4

Esclarecer a confusão possível com “grau quatro” (quartica) e com “gráfico”.
  • Uma superfície dada por um polinômio de grau 4 é chamada de superfície quartica (ou cúbica/quartica conforme grau), não de quádrica. Por exemplo, a superfície
x^4+y^4+z^4=1
é uma superfície de grau 4 (uma quartica), e não uma quádrica.
  • Outra ambiguidade: se alguém disser “gráfico de uma função polinomial”, poderia querer dizer um gráfico no sentido z=f(x,y). Mesmo aí, se f(x,y) for um polinômio de grau 4 em (x,y), o gráfico terá monômios com grau até 4 e, portanto, não é necessariamente uma quádrica; no máximo poderia ser reescrito implicitamente como F(x,y,z)=z-f(x,y)=0, e esse F tem grau 4, não 2. Uma quádrica pode às vezes ser escrita como gráfico z = q(x,y) com q polinomial, mas então q tem grau 2 (por exemplo, o paraboloide z=x^2+y^2 é quádrica).

Passo 5

Resumo didático e conclusão final (tom motivador)
  • Resumindo de forma bem direta: “quádrica” refere-se ao grau 2. Grau 4 corresponde a outro tipo de superfície (quartica). Então a afirmação do enunciado está incorreta. Não se preocupe: decorar que "quádrica = grau 2" e "quartica = grau 4" resolve muita confusão em provas.
Força aí — essa é uma questão rápida: lembra que a palavra-chave é o número do grau que aparece no nome.

Resposta

Falso.

Exercícios relacionados