Verdadeiro ou falso? Se
é uma função par, então
não é uma função ímpar. Justifique sua resposta!
Passo 1
Vamos analisar a afirmação “Se f é par, então f não é ímpar”. O conteúdo aqui é entender as definições de função par e função ímpar e usar essas definições para verificar se essa afirmação vale para todas as funções.
Passo 2
Uma função f é dita par se, para todo x no domínio, vale
Uma função f é dita ímpar se, para todo x no domínio, vale
Passo 3
Suponha que exista uma função f que seja ao mesmo tempo par e ímpar. Então teríamos
e também
Igualando os dois, obtemos
ou seja
para todo x, o que implica f(x)=0 para todo x. Logo, a única função que satisfaz ambas as definições é a função identicamente zero.
Passo 4
Como encontramos o exemplo da função zero que é par e ímpar simultaneamente, a afirmação de que toda função par não pode ser ímpar é falsa. Portanto há pelo menos um contraexemplo que derruba a proposição.
Resposta
Falso. A função identicamente zero é ao mesmo tempo par e ímpar, servindo como contraexemplo à afirmação.