Verdadeiro ou falso? Se f é uma função par, então f não é uma função ímpar. Justifique sua resposta!

Passo 1

Vamos analisar a afirmação “Se f é par, então f não é ímpar”. O conteúdo aqui é entender as definições de função par e função ímpar e usar essas definições para verificar se essa afirmação vale para todas as funções.

Passo 2

Uma função f é dita par se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=f(x)
Uma função f é dita ímpar se, para todo x no domínio, vale
f(-x)=-f(x)

Passo 3

Suponha que exista uma função f que seja ao mesmo tempo par e ímpar. Então teríamos
f(-x)=f(x)
e também
f(-x)=-f(x)
Igualando os dois, obtemos
f(x)=-f(x)
ou seja
2f(x)=0
para todo x, o que implica f(x)=0 para todo x. Logo, a única função que satisfaz ambas as definições é a função identicamente zero.

Passo 4

Como encontramos o exemplo da função zero que é par e ímpar simultaneamente, a afirmação de que toda função par não pode ser ímpar é falsa. Portanto há pelo menos um contraexemplo que derruba a proposição.

Resposta

Falso. A função identicamente zero é ao mesmo tempo par e ímpar, servindo como contraexemplo à afirmação.

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