4.1 Verdadeiro ou falso? (a) As grandezas
e
têm todas as mesmas dimensões. (b) A relação
é válida para todos os processos. (c)
. (d) Para qualquer sistema fechado em equilíbrio térmico e mecânico, e capaz de realizar somente trabalho
, a função de estado
é mínima quando se alcança o equilíbrio material. (e) A energia de Gibbs de 12 g de gelo a
e 1 atm é menor que a energia de Gibbs de 12 g de água líquida a
e 1 atm . (f) As grandezas
têm todas dimensões de energia.
Passo 1
O enunciado apresenta seis afirmações (a) a (f) sobre grandezas termodinâmicas e pede que avalie se cada uma é verdadeira ou falsa. As informações explícitas que temos são as seis frases; não há figuras nem dados numéricos adicionais. Vou trabalhar com as definições e identidades termodinâmicas usuais para julgar cada afirmação.
Listagem das seis afirmações que preciso avaliar:
(a) As grandezas e
têm todas as mesmas dimensões.
(b) A relação é válida para todos os processos.
(c) .
(d) Para qualquer sistema fechado em equilíbrio térmico e mecânico, e capaz de realizar somente trabalho , a função de estado
é mínima quando se alcança o equilíbrio material.
(e) A energia de Gibbs de g de gelo a
e
é menor que a energia de Gibbs de
g de água líquida a
e
.
(f) As grandezas e
têm todas dimensões de energia.
(a) As grandezas
(b) A relação
(c)
(d) Para qualquer sistema fechado em equilíbrio térmico e mecânico, e capaz de realizar somente trabalho
(e) A energia de Gibbs de
(f) As grandezas
Passo 2
Definições básicas (para não pular etapas): explico o que são as grandezas mencionadas e escrevo as fórmulas que vamos usar.
-
é a energia interna do sistema. É uma função de estado com dimensão de energia. -
é a entalpia definida por . -
(ou ) é a energia livre de Helmholtz definida por . -
é a energia livre de Gibbs definida por .
Todas essas relações são definições de funções de estado; eu as vou usar para comparar dimensões e derivar identidades.
Passo 3
Análise da afirmação (a): “As grandezas
e
têm todas as mesmas dimensões.”
- Dimensão física: energia. Em unidades SI, energia tem unidade
(joule). - Verifico cada definição:
é energia; soma energia com pressão·volume — como tem unidade e tem , então tem unidade . Logo tem unidade de energia. -
: tem unidade , tem unidade , então tem unidade ; logo é energia. -
já é combinação de quantidades com unidade de energia, logo também energia.
Conclusão: todas têm dimensão de energia — a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 4
Análise da afirmação (b): “A relação
é válida para todos os processos.”
- Começo lembrando a definição:
. Faço a diferença finita geral:
(Aqui usei a regra de diferenciação de um produto:
.)
- Portanto a forma simplificada
só ocorre quando , ou seja, quando a temperatura é constante durante o processo. - Se
, o termo aparece e a igualdade não vale.
Conclusão: a afirmação (b) dizendo que vale para todos os processos está incorreta — é falsa. Ela vale apenas para processos isotérmicos.
Passo 5
Análise da afirmação (c): “
.”
- Uso as definições escritas no Passo 2:
e com . Substituo em :
- A derivação é direta e não exige condições especiais.
Conclusão: a afirmação (c) é verdadeira.
Passo 6
Análise da afirmação (d): “Para qualquer sistema fechado em equilíbrio térmico e mecânico, e capaz de realizar somente trabalho
, a função de estado
é mínima quando se alcança o equilíbrio material.”
- Interpretação: estamos considerando um sistema fechado (massa fixa), em equilíbrio térmico e mecânico com vizinhança (ou reservatório) — ou seja,
e são mantidos constantes pelo ambiente — e o único trabalho trocado é trabalho . “Equilíbrio material” quer dizer equilíbrio químico (não há variação espontânea na composição). - Teorema útil: para um sistema a
e constantes, a variação da energia livre de Gibbs do sistema é relacionada à variação da entropia total do universo:
Para vizinhança/reservatório isotérmico,
. Então
- A segunda lei diz
. Então , ou seja
para processos espontâneos à
constantes. A igualdade
corresponde a
, isto é, equilíbrio.
- Logo, em condições de
e fixos, o sistema espontaneamente evolui até reduzir ao mínimo compatível com as restrições; no equilíbrio material (químico), é mínimo.
Conclusão: a afirmação (d) é verdadeira (observação: é importante quee estejam mantidos constantes pelo ambiente; o enunciado já diz “em equilíbrio térmico e mecânico”, o que corresponde a e fixos).
Passo 7
Análise da afirmação (e): “A energia de Gibbs de
g de gelo a
e
é menor que a energia de Gibbs de
g de água líquida a
e
.”
- Em
e gelo e água líquida coexistem em equilíbrio de fase (essa é a temperatura de fusão normal). Em equilíbrio de fase, as duas fases têm a mesma energia livre molar (ou específica) àquela e . Portanto, para a mesma massa de substância, as energias de Gibbs são iguais. - Assim a afirmação que diz que a energia de Gibbs do gelo é menor que a da água líquida está errada.
Conclusão: a afirmação (e) é falsa; as duas energias de Gibbs são iguais nas condições dadas.
Passo 8
Análise da afirmação (f): “As grandezas
e
têm todas dimensões de energia.”
- Verifico unidades/dimensões:
- Entropia
tem unidade . Temperatura tem unidade . Logo tem unidade , energia. -
tem unidade , energia. - Volume
tem unidade . Pressão tem unidade . Logo tem unidade , energia. - A integral
é soma (integral) de termos com unidade , logo também tem unidade .
- Entropia
- Portanto todos têm dimensão de energia.
Conclusão: a afirmação (f) é verdadeira.
Resposta
(a) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Falso
(f) Verdadeiro
(b) Falso
(c) Verdadeiro
(d) Verdadeiro
(e) Falso
(f) Verdadeiro