Para um líquido com valores típicos \alpha=10^{-3} \mathrm{~K}^{-1}, \kappa=10^{-4} \mathrm{atm}^{-1}, V_{\mathrm{m}}=50 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{mol}, C_{P, \mathrm{~m}}=150 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} \mathrm{K}, calcule a 25^{\circ} \mathrm{C} e 1 atm: (d) (\partial S_{\mathrm{m}} / \partial T)_{P}

Passo 1

O enunciado pede o valor de \left(\partial S_{\mathrm{m}}/\partial T\right)_{P} para um líquido nas condições 25^\circ\mathrm{C} e 1\\ \mathrm{atm}. Dados fornecidos (valores típicos):
\alpha=10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1},\qquad \kappa=10^{-4}\\ \mathrm{atm}^{-1},\qquad V_{\mathrm{m}}=50\\ \mathrm{cm}^{3}\!\\ /\!\mathrm{mol},\qquad C_{P,\mathrm{m}}=150\\ \mathrm{J}\!\\ /\!\mathrm{mol}\,\mathrm{K}.
A pergunta específica (item d) é apenas \left(\partial S_{\mathrm{m}}/\partial T\right)_{P} nas condições dadas.

Passo 2

Vamos identificar a relação termodinâmica que nos dá \left(\partial S/\partial T\right)_{P}. Começamos da diferencial da entalpia H. A relação fundamental que liga entalpia, entropia e pressão é
dH = T\,dS + V\,dP.
Aqui H é a entalpia (energia à pressão constante), T a temperatura, S a entropia e V o volume.

Passo 3

Agora consideramos variações à pressão constante ( dP=0). Com dP=0 a expressão anterior vira
dH = T\,dS \quad\text{(à pressão constante)}.àã
Isto é intuitivo: numa transformação infinitesimal a pressão fixa, a variação de entalpia é a energia térmica associada à variação de entropia.

Passo 4

Definimos a capacidade térmica molar à pressão constante como
C_{P,\mathrm{m}} = \left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P}.
Diferenciando dH = T\,dS com respeito a T à pressão constante, obtemos
\left(\frac{\partial H}{\partial T}\right)_{P} = T \left(\frac{\partial S}{\partial T}\right)_{P}.
Substituindo a definição de C_{P,\mathrm{m}} resulta a relação desejada:
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P} = \frac{C_{P,\mathrm{m}}}{T}.

Passo 5

Comentário didático curto: isto significa que, à pressão constante, a taxa de variação da entropia com a temperatura é simplesmente a capacidade térmica dividida pela temperatura. Não precisamos dos valores de \alpha,\kappa,V_{\mathrm{m}} para este item; eles seriam úteis se a variação com pressão ou outras derivadas envolvessem (\partial V/\partial T)_P, mas aqui não entram.

Passo 6

Vamos calcular numericamente. Primeiro convertemos a temperatura:
25^\circ\mathrm{C} = 25 + 273,15 = 298,15\\ \mathrm{K}.
Usamos C_{P,\mathrm{m}}=150\\ \mathrm{J}\!\\ /\!\mathrm{mol}\,\mathrm{K}. Portanto
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P} = \frac{150\\ \mathrm{J}\!\\ /\!\mathrm{mol}\,\mathrm{K}}{298,15\\ \mathrm{K}}.

Passo 7

Fazendo a divisão (arredondando a três algarismos significativos, coerente com os dados):
\frac{150}{298,15}\approx 0,503\\ .
Assim o valor numérico e as unidades ficam
\left(\frac{\partial S_{\mathrm{m}}}{\partial T}\right)_{P}\approx 0,503\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-2}.

Resposta

0,503\\ \mathrm{J}\,\mathrm{mol}^{-1}\,\mathrm{K}^{-2}

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