Dados a, b \in \mathbb{Z} com b \neq 0 foi mostrado que no caso b>0, existe q=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor e r=a-b q, quociente e resto respectivamente, da divisão de a por b satisfazendo
a=b q+r ; 0 \leq r<|b|
Indique, no caso b<0, em termos da função \lfloor\cdot\rfloor, os números q, r e verifique que satisfazem (1). Dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado dá: a,b\in\mathbb{Z} com b<0. Pede para indicar, em termos da função \lfloor\cdot\rfloor, inteiros q e r que satisfaçam
a=bq+r,\qquad 0\le r<|b|.
Também foi lembrado que, no caso b>0, uma escolha natural é q=\left\lfloor\frac{a}{b}\right\rfloor e r=a-bq. Aqui devemos encontrar a expressão adequada quando b<0 (usar apenas \lfloor\cdot\rfloor), verificar que a igualdade e as desigualdades valem, e dar um exemplo numérico.

Passo 2

Vamos trabalhar com o valor positivo do divisor. Defina c:=|b|. Como b<0, tem-se c>0 e b=-c. A função piso (floor) é definida por: para x\in\mathbb{R}, \lfloor x\rfloor é o maior inteiro \le x. Pelo caso já conhecido (divisor positivo c), existe s=\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor e t=a-cs tais que
a = cs + t,\qquad 0\le t < c.
Isto é apenas a aplicação da divisão por c>0 usando a função piso.

Passo 3

A partir de a=cs+t e lembrando que b=-c, reescrevemos:
a = cs + t = -b s + t = b(-s) + t.
Comparando com a=bq+r vemos que uma escolha conveniente é
q = -s,\qquad r = t.
Ou seja, se s=\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor e t=a-cs então q=-\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor e r=a-c\left\lfloor\frac{a}{c}\right\rfloor.

Passo 4

Reescrevendo em função de b (lembrando c=|b|), obtemos as fórmulas finais em termos de piso:
q = -\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor,\qquad r = a - |b|\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor.
Estas fórmulas usam apenas \lfloor\cdot\rfloor. Note também a identidade útil envolvendo teto: \lceil x\rceil = -\lfloor -x\rfloor. Como \dfrac{a}{b}=-\dfrac{a}{|b|}, uma forma equivalente é
q = \left\lceil\frac{a}{b}\right\rceil = -\left\lfloor -\frac{a}{b}\right\rfloor,
mas a forma anterior já está expressa só com o piso e |b|.

Passo 5

Verificação algebraica e das desigualdades:
  • Substituindo q e r na expressão bq+r:
bq+r = b\!\left(-\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor\right) + \left(a - |b|\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor\right) = a,
pois b(-\lfloor a/|b|\rfloor) = -b\lfloor a/|b|\rfloor = |b|\lfloor a/|b|\rfloor, que cancela com o termo subtraído em r.
  • Sobre a desigualdade para r: como r=t e já sabemos do caso c=|b| que 0\le t < c, segue que
0\le r < |b|.
Portanto as fórmulas satisfazem exatamente as condições pedidas.

Passo 6

Exemplo numérico (para fixar a ideia): tome a=7 e b=-3. Aqui |b|=3 e
\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{7}{3}\right\rfloor=2.
Logo
q=-2,\qquad r=7-3\cdot2=1.
Verificação: bq+r = (-3)(-2)+1=6+1=7=a e 0\le 1<3=|b|. Tudo confere.

Resposta

q=-\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor,\qquad r=a-|b|\left\lfloor\frac{a}{|b|}\right\rfloor
Exemplo: para a=7,\\ b=-3 obtém-se q=-2,\\ r=1.

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