Dados
com
foi mostrado que no caso
, existe
e
, quociente e resto respectivamente, da divisão de
por
satisfazendo
Indique, no caso
, em termos da função
, os números
e verifique que satisfazem (1). Dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado dá:
com
. Pede para indicar, em termos da função
, inteiros
e
que satisfaçam
Também foi lembrado que, no caso
, uma escolha natural é
e
. Aqui devemos encontrar a expressão adequada quando
(usar apenas
), verificar que a igualdade e as desigualdades valem, e dar um exemplo numérico.
Passo 2
Vamos trabalhar com o valor positivo do divisor. Defina
. Como
, tem-se
e
. A função piso (floor) é definida por: para
,
é o maior inteiro
. Pelo caso já conhecido (divisor positivo
), existe
e
tais que
Isto é apenas a aplicação da divisão por
usando a função piso.
Passo 3
A partir de
e lembrando que
, reescrevemos:
Comparando com
vemos que uma escolha conveniente é
Ou seja, se
e
então
e
.
Passo 4
Reescrevendo em função de
(lembrando
), obtemos as fórmulas finais em termos de piso:
Estas fórmulas usam apenas
. Note também a identidade útil envolvendo teto:
. Como
, uma forma equivalente é
mas a forma anterior já está expressa só com o piso e
.
Passo 5
Verificação algebraica e das desigualdades:
- Substituindo
e na expressão :
pois
, que cancela com o termo subtraído em
.
- Sobre a desigualdade para
: como e já sabemos do caso que , segue que
Portanto as fórmulas satisfazem exatamente as condições pedidas.
Passo 6
Exemplo numérico (para fixar a ideia): tome
e
. Aqui
e
Logo
Verificação:
e
. Tudo confere.
Resposta
Exemplo: para
obtém-se
.