Verdadeiro ou Falso? Quaisquer quatro inteiros consecutivos determinam um sistema completo de resíduos módulo 4 .
Passo 1
O enunciado pergunta se “quaisquer quatro inteiros consecutivos determinam um sistema completo de resíduos módulo 4”. O conteúdo é teoria de congruências, mais precisamente sistemas completos de resíduos modulo um inteiro. Para resolver, vamos usar a definição de sistema completo de resíduos módulo 4.
Passo 2
Definição de sistema completo de resíduos módulo 4: é um conjunto de quatro inteiros cujas classes de resto ao dividirmos por 4 sejam todas diferentes e esgotem os resíduos
.
Passo 3
Seja
um inteiro qualquer. Então:
Logo,
Como
(tomados módulo 4) são exatamente os quatro resíduos distintos
, os números
cobrem todas as classes.
Passo 4
Concluímos que qualquer sequência de quatro inteiros consecutivos fornece exatamente um representante de cada resto em módulo 4, logo formam um sistema completo de resíduos módulo 4.
Resposta
Verdadeiro.