Verdadeiro ou Falso? Quaisquer quatro inteiros consecutivos determinam um sistema completo de resíduos módulo 4 .

Passo 1

O enunciado pergunta se “quaisquer quatro inteiros consecutivos determinam um sistema completo de resíduos módulo 4”. O conteúdo é teoria de congruências, mais precisamente sistemas completos de resíduos modulo um inteiro. Para resolver, vamos usar a definição de sistema completo de resíduos módulo 4.

Passo 2

Definição de sistema completo de resíduos módulo 4: é um conjunto de quatro inteiros cujas classes de resto ao dividirmos por 4 sejam todas diferentes e esgotem os resíduos 0,1,2,3.

Passo 3

Seja n um inteiro qualquer. Então:
nequiv rpmod4, rin0,1,2,3
Logo,
n+1equiv r+1pmod4, n+2equiv r+2pmod4, n+3equiv r+3pmod4
Como r,r+1,r+2,r+3 (tomados módulo 4) são exatamente os quatro resíduos distintos 0,1,2,3, os números n,n+1,n+2,n+3 cobrem todas as classes.

Passo 4

Concluímos que qualquer sequência de quatro inteiros consecutivos fornece exatamente um representante de cada resto em módulo 4, logo formam um sistema completo de resíduos módulo 4.

Resposta

Verdadeiro.

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