Verdadeiro ou Falso? Se a^k equiv b^k(bmod n) e k equiv r(bmod n) então a^r equiv b^r(bmod n).

Passo 1

O enunciado pergunta se a seguinte afirmação é sempre verdadeira em aritmética modular:
se ,a^kequiv b^kpmod n e kequiv rpmod n, então ,a^requiv b^rpmod n.
O conteúdo envolvido é teoria de congruências e ordem de um elemento em (Z/nZ)^times.

Passo 2

Recordando que o período com que as potências de a (ou de b) se repetem módulo n é dado pela ordem de a em bmod n, que divide varphi(n), não divide necessariamente n. Logo, saber que kequiv rpmod n não garante que a^kequiv a^rpmod n. Por isso a hipótese não é suficiente para concluir a^requiv b^rpmod n.

Passo 3

Para ver que a afirmação é falsa, basta um contraexemplo. Tome
n=3, a=2, b=1, k=2, r=5
Então
kequiv rpmod 3 pois 2equiv5equiv2pmod3,
e
a^k=2^2=4equiv1pmod3, b^k=1^2=1pmod3,
logo a^kequiv b^kpmod3.
Porém
a^r=2^5=32equiv2pmod3, b^r=1^5=1pmod3,
e 2notequiv1pmod3.

Resposta

Falso.

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