Qual afirmação é verdadeira sobre o processo de Gram-Schmidt?
Escolha uma opção:
a. Produz sempre vetores ortonormais na primeira etapa.
b. Exige que os vetores iniciais sejam ortogonais.
c. Não funciona em espaços de dimensão maior que 3 .
d. Preserva o subespaço gerado pelos vetores originais.
e. Nenhuma das alternativas

Passo 1

O enunciado pergunta qual afirmação sobre o processo de Gram–Schmidt é verdadeira. Esse processo faz parte de Álgebra Linear (bases ortonormais em espaços com produto interno) e transforma um conjunto de vetores linearmente independentes v1,dots,vn num conjunto ortonormal e1,dots,en, usando projeções e normalizações.

Passo 2

A ideia-chave é que, a cada passo k, definimos
uk = vk - sumi=1^k-1lang<= vk,eirang<=lang<= ei,eirang<=,ei,
e depois normalizamos
ek = uk|uk|
Com isso garantimos que e1,dots,ek seja ortonormal e satisfaça
spane1,dots,ek ;=;spanv1,dots,vk

Passo 3

Analisando as alternativas:
– (a) está errada porque na “primeira etapa” só sai um único vetor normalizado, não vários vetores.
– (b) está errada pois não é preciso que vi já sejam ortogonais; o método cria a ortogonalidade.
– (c) está errada pois o Gram–Schmidt vale para qualquer dimensão finita, não só até 3.

Passo 4

A afirmação (d) é exatamente a propriedade central: o processo preserva, em cada passo, o subespaço gerado pelos vetores originais, ou seja
spane1,dots,ek = spanv1,dots,vk

Resposta

d. Preserva o subespaço gerado pelos vetores originais.

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