Qual afirmação é verdadeira sobre o processo de Gram-Schmidt?
Escolha uma opção:
a. Produz sempre vetores ortonormais na primeira etapa.
b. Exige que os vetores iniciais sejam ortogonais.
c. Não funciona em espaços de dimensão maior que 3 .
d. Preserva o subespaço gerado pelos vetores originais.
e. Nenhuma das alternativas
a. Produz sempre vetores ortonormais na primeira etapa.
b. Exige que os vetores iniciais sejam ortogonais.
c. Não funciona em espaços de dimensão maior que 3 .
d. Preserva o subespaço gerado pelos vetores originais.
e. Nenhuma das alternativas
Passo 1
O enunciado pergunta qual afirmação sobre o processo de Gram–Schmidt é verdadeira. Esse processo faz parte de Álgebra Linear (bases ortonormais em espaços com produto interno) e transforma um conjunto de vetores linearmente independentes
num conjunto ortonormal
, usando projeções e normalizações.
Passo 2
A ideia-chave é que, a cada passo
, definimos
e depois normalizamos
Com isso garantimos que
seja ortonormal e satisfaça
Passo 3
Analisando as alternativas:
– (a) está errada porque na “primeira etapa” só sai um único vetor normalizado, não vários vetores.
– (b) está errada pois não é preciso que já sejam ortogonais; o método cria a ortogonalidade.
– (c) está errada pois o Gram–Schmidt vale para qualquer dimensão finita, não só até 3.
– (a) está errada porque na “primeira etapa” só sai um único vetor normalizado, não vários vetores.
– (b) está errada pois não é preciso que
– (c) está errada pois o Gram–Schmidt vale para qualquer dimensão finita, não só até 3.
Passo 4
A afirmação (d) é exatamente a propriedade central: o processo preserva, em cada passo, o subespaço gerado pelos vetores originais, ou seja
Resposta
d. Preserva o subespaço gerado pelos vetores originais.