É verdadeiro ou falso?
Se f e f^prime são contínuas por partes em [0, L], então u(x, t)=sumn=1^+infty cn e^-pi^2 alpha^2 n^2 t / L^2 sen pi n xL com cn=2L integral0^L f(x) sen pi n xL d x é uma solução de alpha^2 partial^2 upartial x^2=partial upartial t que satisfaz u(0, t)=u(L, t)=0 e u(x, 0)=f(x).

Passo 1

O enunciado pergunta se a função
u(x,t) =sumn=1^inftycn,e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2 sin!l(tfracpi n xLr), cn=2Lintegral0^Lf(x)sin!l(tfracpi n xLr),dx
é solução do problema de contorno para a equação do calor
alpha^2partial^2upartial x^2 =partial upartial t,
com condições de Dirichlet
u(0,t)=u(L,t)=0
e condição inicial
u(x,0)=f(x),
sob a hipótese de que f e f' são contínuas por partes em [0,L]. Vamos usar teoria de séries de Fourier senoidais, convergência ponto a ponto e diferenciação termo a termo.

Passo 2

Verificação das condições de contorno. Para todo t>=0 e todo n>=1 vale
sin(0)=0 e sin(pi n)=0. Logo cada termo da soma anula-se em x=0 e em x=L, implicando
u(0,t)=sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2cdot0=0,
u(L,t)=sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2cdot0=0

Passo 3

Verificação da equação do calor por diferenciação termo a termo. Como f e f' são contínuas por partes, a série de Fourier senoidal de f converge suficientemente bem para permitir troca de soma e derivadas. Calculamos
partial upartial t =sumn=1^inftycn,ddtl(e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2r) sin!l(tfracpi n xLr) =sumn=1^inftycnl(-tfracpi^2alpha^2n^2L^2r)e^-pi^2alpha^2n^2t/L^2 sin!l(tfracpi n xLr),
e
partial^2upartial x^2 =sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2 d^2dx^2sin!l(tfracpi n xLr) =sumn=1^inftycne^-pi^2alpha^2n^2t/L^2 l(-tfracpi^2n^2L^2r)sin!l(tfracpi n xLr)
Multiplicando por alpha^2 confirma-se
alpha^2partial^2upartial x^2 =partial upartial t

Passo 4

Verificação da condição inicial. Para t=0 temos
u(x,0) =sumn=1^inftycnsin!l(tfracpi n xLr),
que é exatamente a expansão em série de Fourier senoidal de f(x). Pelo teorema clássico, se f e f' são contínuas por partes, essa série converge ponto a ponto para f(x) para 0<x<L (e para a média dos limites nas descontinuidades). Assim
u(x,0)=f(x)

Passo 5

Como a solução por separação de variáveis num problema de contorno para a equação do calor é única sob hipóteses razoáveis de regularidade, concluímos que a função dada realmente é a solução do problema proposto.

Resposta

Verdadeiro.

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