É verdadeiro ou falso?
Se
e
são contínuas por partes em
, então
é uma solução de
que satisfaz
e
.
Se
Passo 1
O enunciado pergunta se a função
é solução do problema de contorno para a equação do calor
com condições de Dirichlet
e condição inicial
sob a hipótese de que
e
são contínuas por partes em
. Vamos usar teoria de séries de Fourier senoidais, convergência ponto a ponto e diferenciação termo a termo.
Passo 2
Verificação das condições de contorno. Para todo
e todo
vale
e
. Logo cada termo da soma anula-se em
e em
, implicando
Passo 3
Verificação da equação do calor por diferenciação termo a termo. Como
e
são contínuas por partes, a série de Fourier senoidal de
converge suficientemente bem para permitir troca de soma e derivadas. Calculamos
e
Multiplicando por
confirma-se
Passo 4
Verificação da condição inicial. Para
temos
que é exatamente a expansão em série de Fourier senoidal de
. Pelo teorema clássico, se
e
são contínuas por partes, essa série converge ponto a ponto para
para
(e para a média dos limites nas descontinuidades). Assim
Passo 5
Como a solução por separação de variáveis num problema de contorno para a equação do calor é única sob hipóteses razoáveis de regularidade, concluímos que a função dada realmente é a solução do problema proposto.
Resposta
Verdadeiro.