seguimos os passos abaixo para determinar sua solução geral.
Como a equação é linear não homogênea, ela pode ser resolvida pelo método de variação de parâmetros.
1. Achamos a solução da equação homogênea associada
A equação homogênea associada é:
Como a equação é linear não homogênea, ela pode ser resolvida pelo método de variação de parâmetros.
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial de primeira ordem não homogênea
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método de variação de parâmetros. Precisamos achar primeiro a solução da homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Trata-se de uma EDO de coeficientes constantes cuja equação característica é
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
No método de variação de parâmetros para EDO de primeira ordem, substituímos a constante
por uma função
. Assim assumimos
Passo 4
Calculamos a derivada de
e substituímos na EDO:
então
Igualando ao termo não homogêneo:
Passo 5
Integramos
para obter
:
O termo constante
pode ser incorporado em
, então para a solução particular basta tomar
Passo 6
A solução particular é
Portanto, a solução geral da EDO é a soma de homogênea e particular:
Passo 7
Combinando os termos, obtemos a solução geral