y^prime-2 y=x^2 e^2 x,
seguimos os passos abaixo para determinar sua solução geral.
Como a equação é linear não homogênea, ela pode ser resolvida pelo método de variação de parâmetros.

1. Achamos a solução da equação homogênea associada

A equação homogênea associada é:
y^prime-2 y=0

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a equação diferencial de primeira ordem não homogênea
y' - 2y = x^2 e^2x
O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método de variação de parâmetros. Precisamos achar primeiro a solução da homogênea associada e depois encontrar uma solução particular.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y' - 2y = 0
Trata-se de uma EDO de coeficientes constantes cuja equação característica é
r - 2 = 0 implies r = 2
Logo a solução geral da homogênea é
yh(x) = C e^2x

Passo 3

No método de variação de parâmetros para EDO de primeira ordem, substituímos a constante C por uma função u(x). Assim assumimos
yp(x) = u(x),e^2x

Passo 4

Calculamos a derivada de yp e substituímos na EDO:
yp' = u' e^2x + 2u e^2x,
então
yp' - 2yp = (u' e^2x + 2u e^2x) - 2(u e^2x) = u' e^2x
Igualando ao termo não homogêneo:
u' e^2x = x^2 e^2x implies u' = x^2

Passo 5

Integramos u' = x^2 para obter u(x):
u(x) = integral x^2 ,dx = x^33 + K
O termo constante K pode ser incorporado em C e^2x, então para a solução particular basta tomar
u(x) = x^33

Passo 6

A solução particular é
yp(x) = x^33 e^2x
Portanto, a solução geral da EDO é a soma de homogênea e particular:

Passo 7

Combinando os termos, obtemos a solução geral
y(x) = C e^2x + x^33 e^2x

Resposta

y(x) = C e^2x + x^33 e^2x

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