Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de R^3 ou R^4 conforme corresponda.
(b) (x, y, z, w) in R^4: w=x+y e z=x-y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para um subespaço de R^4 definido pelas condições w = x + y e z = x - y. Além disso, temos que estender essa base para formar uma base completa de R^4. Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais e bases.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço dado pelas equações w = x + y e z = x - y. Aqui, estamos restringindo os vetores (x, y, z, w) de maneira que os componentes z e w sejam definidos em termos de x e y. Então, podemos expressar qualquer vetor nesse subespaço apenas com x e y livres.

Passo 3

Vamos escrever o vetor geral do subespaço usando x e y como parâmetros:
(x, y, z, w) = (x, y, x - y, x + y)
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear das variáveis x e y.

Passo 4

Agora, podemos reescrever o vetor como uma combinação de vetores baseados em x e y:
(x, y, x - y, x + y) = x cdot (1, 0, 1, 1) + y cdot (0, 1, -1, 1)
Aqui, os vetores (1, 0, 1, 1) e (0, 1, -1, 1) são os vetores que vão gerar todo o subespaço.

Passo 5

Com isso, identificamos que uma base para o subespaço é formada por esses dois vetores:
, (1, 0, 1, 1),; (0, 1, -1, 1) ,
Essa é uma base mínima que gera todo o subespaço definido pelas equações dadas.

Passo 6

Agora, precisamos estender essa base para formar uma base completa de R^4. Sabemos que uma base de R^4 precisa ter 4 vetores que sejam linearmente independentes. Temos 2 vetores na nossa base do subespaço, então precisamos de mais 2 vetores que não estejam no subespaço.

Passo 7

Escolhemos vetores que não podem ser escritos como combinações lineares de (1, 0, 1, 1) e (0, 1, -1, 1). Por exemplo, podemos escolher:
(1, 1, 0, 0) e (0, 0, 1, 0)
Esses vetores não satisfazem as equações w = x + y e z = x - y, então não estão no subespaço original.

Passo 8

Verificamos a independência linear dos quatro vetores:
, (1, 0, 1, 1),; (0, 1, -1, 1),; (1, 1, 0, 0),; (0, 0, 1, 0) ,
Como não existe combinação linear não trivial que resulte no vetor zero, esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para R^4.

Resposta

Uma base para o subespaço é , (1,,0,,1,,1), (0,,1,,-1,,1),. Estendendo essa base, uma base para R^4 é , (1,,0,,1,,1), (0,,1,,-1,,1), (1,,1,,0,,0), (0,,0,,1,,0) ,.

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