Encontre uma base para os seguintes subespaços e estenda a uma base de
ou
conforme corresponda.
(b)
e
.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar uma base para um subespaço de
definido pelas condições
e
. Além disso, temos que estender essa base para formar uma base completa de
. Vamos precisar usar conceitos de subespaços vetoriais e bases.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o subespaço dado pelas equações
e
. Aqui, estamos restringindo os vetores
de maneira que os componentes
e
sejam definidos em termos de
e
. Então, podemos expressar qualquer vetor nesse subespaço apenas com
e
livres.
Passo 3
Vamos escrever o vetor geral do subespaço usando
e
como parâmetros:
Isso mostra que qualquer vetor no subespaço pode ser escrito como uma combinação linear das variáveis
e
.
Passo 4
Agora, podemos reescrever o vetor como uma combinação de vetores baseados em
e
:
Aqui, os vetores
e
são os vetores que vão gerar todo o subespaço.
Passo 5
Com isso, identificamos que uma base para o subespaço é formada por esses dois vetores:
Essa é uma base mínima que gera todo o subespaço definido pelas equações dadas.
Passo 6
Agora, precisamos estender essa base para formar uma base completa de
. Sabemos que uma base de
precisa ter 4 vetores que sejam linearmente independentes. Temos 2 vetores na nossa base do subespaço, então precisamos de mais 2 vetores que não estejam no subespaço.
Passo 7
Escolhemos vetores que não podem ser escritos como combinações lineares de
e
. Por exemplo, podemos escolher:
Esses vetores não satisfazem as equações
e
, então não estão no subespaço original.
Passo 8
Verificamos a independência linear dos quatro vetores:
Como não existe combinação linear não trivial que resulte no vetor zero, esses vetores são linearmente independentes e formam uma base para
.
Resposta
Uma base para o subespaço é
. Estendendo essa base, uma base para
é
.