Verdadeiro (V) ou Falso (F)
A integral integral sen^5(x) d x só pode ser resolvida usando a relação sen^2(x)=1-cos (2 x)2.

Passo 1

Então, a gente tem uma afirmação dizendo que a integral de sin^5(x) , dx só dá pra resolver usando a relação sin^2(x) = 1 - cos(2x)2. Vamos ver se isso é verdade ou falso! Para resolver isso, vamos precisar lembrar de técnicas de integração envolvendo potências de funções trigonométricas e algumas identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar integrar sin^5(x) , dx sem usar a identidade sin^2(x) = 1 - cos(2x)2. Uma maneira comum de resolver integrais de potências ímpares de seno é separar um sin(x) e usar uma substituição.

Passo 3

Escrevemos sin^5(x) como sin^4(x) cdot sin(x). Sabemos que sin^4(x) pode ser escrito como (sin^2(x))^2. Então:
sin^5(x) = (sin^2(x))^2 cdot sin(x)

Passo 4

Agora, usamos a identidade sin^2(x) = 1 - cos^2(x). Assim:
sin^5(x) = (1 - cos^2(x))^2 cdot sin(x)

Passo 5

Fazemos a substituição u = cos(x), então du = -sin(x) , dx ou -du = sin(x) , dx. A integral vira:
integral (1 - u^2)^2 cdot (-du) = -integral (1 - u^2)^2 , du

Passo 6

Expandimos (1 - u^2)^2:
(1 - u^2)^2 = 1 - 2u^2 + u^4
Então, a integral fica:
-integral (1 - 2u^2 + u^4) , du = -( u - 2u^33 + u^55 ) + C

Passo 7

Voltamos para x substituindo u = cos(x):
-( cos(x) - 2cos^3(x)3 + cos^5(x)5 ) + C

Passo 8

Vimos que conseguimos integrar sin^5(x) , dx sem usar a identidade sin^2(x) = 1 - cos(2x)2. Isso mostra que há outras maneiras de resolver a integral além da relação dada.

Resposta

Falso. A integral integral sin^5(x) , dx pode ser resolvida por outros métodos além da relação sin^2(x) = 1 - cos(2x)2.

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