Passe para coordenadas polares e calcule:
9.5)
.
9.5)
Passo 1
O exercício pede para calcular a integral dupla
utilizando coordenadas polares. O conteúdo envolve descri\u00e7\u00e3o da regi\u00e3o de integra\u00e7\u00e3o, mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano.
Passo 2
A condição de limite em
diz que
que se reescreve como
Portanto a regi\u00e3o é a metade superior do disco de raio
centrado em
.
Passo 3
Em coordenadas polares temos
A fronteira do disco satisfaz
que se reduz a
. Como estamos no semiplano
e
, temos
Passo 4
Substituindo na integral:
Passo 5
Integramos primeiro em
:
logo
Passo 6
Usando a f\u00f3rmula para integrais de pot\u00eancias pares:
Portanto