Passe para coordenadas polares e calcule:
9.5) integral0^1 integral0^raizx-x^2 x d y d x,(a>0).

Passo 1

O exercício pede para calcular a integral dupla
I=integral0^1integral0^raizx-x^2x,dy,dx
utilizando coordenadas polares. O conteúdo envolve descri\u00e7\u00e3o da regi\u00e3o de integra\u00e7\u00e3o, mudança para coordenadas polares e uso do jacobiano.

Passo 2

A condição de limite em y diz que
y<=raizx-x^2Longrightarrow x-x^2-y^2>=0
que se reescreve como
(x-tfrac12)^2+y^2<=l(tfrac12r)^2
Portanto a regi\u00e3o é a metade superior do disco de raio 1/2 centrado em (1/2,0).

Passo 3

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta
A fronteira do disco satisfaz
(rcostheta-tfrac12)^2+r^2sin^2theta=tfrac14
que se reduz a r=costheta. Como estamos no semiplano y>=0 e x>=0, temos
0<=theta<=tfracpi2, 0<= r<=costheta

Passo 4

Substituindo na integral:
I=integral0^pi/2integral0^costheta(rcostheta),(r,dr,dtheta) =integral0^pi/2integral0^costhetar^2costheta,dr,dtheta

Passo 5

Integramos primeiro em r:
integral0^costhetar^2,dr=cos^3theta3,
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I=integral0^pi/2costhetacdotcos^3theta3,dtheta =13integral0^pi/2cos^4theta,dtheta

Passo 6

Usando a f\u00f3rmula para integrais de pot\u00eancias pares:
integral0^pi/2cos^4theta,dtheta=3pi16
Portanto
I=13cdot3pi16=pi16

Resposta

pi16

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