Verdadeiro (V) ou Falso (F). Prove as verdadeiras e dê um contra-exemplo para as falsas.
O conjunto I=m in Z; m^2 é divisível por 2 é um ideal de Z

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto I=min Z:;m^2 é divisível por 2éí e pergunta se I é um ideal de Z. Vamos usar definição de ideal em anel comutativo e uma propriedade de divisibilidade por número primo.

Passo 2

Primeiro notamos que se 2mid m^2 e como 2 é primo, então necessariamente 2mid m. Logo existe kin Z tal que m=2k. Isso mostra que
I=min Z:;2mid m=2 Z

Passo 3

Agora verificamos que 2 Z é um ideal de Z:
  • Contém o zero: 0=2cdot0in2 Z.
  • Fechado sob subtração: se a=2k e b=2ell então
a-b=2k-2ell=2(k-ell)in2 Z
- Fechado sob multiplicação por qualquer rin Z: se a=2k então
r,a=r,(2k)=2(rk)in2 Z

Passo 4

Como 2 Z satisfaz as condições de ideal, concluímos que I é um ideal de Z.

Resposta

V

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