Verfique se algum dos conjuntos abaixo é um sistema completo de resíduos módulo 4 .
-13,4,17,18

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto -13,4,17,18 é um sistema completo de resíduos módulo 4. Isto significa que, ao reduzir cada elemento módulo 4, devemos obter exatamente as classes de resto 0,1,2,3, sem repetições.

Passo 2

Lembrando que, para um inteiro a, o resto de a na divisão por 4 é o único número r com 0<= r<4 tal que
a = 4q + r
para algum qinZ. Um sistema completo de resíduos módulo 4 precisa ter quatro elementos distintos representando cada um dos restos 0,1,2,3.

Passo 3

Vamos calcular o resto de cada elemento do conjunto:
-13 bmod 4: -13 = 4cdot(-4) + 3implies -13equiv 3pmod4,
4 bmod 4: 4 = 4cdot1 + 0implies 4equiv 0pmod4,
17 bmod 4: 17 = 4cdot4 + 1implies 17equiv 1pmod4,
18 bmod 4: 18 = 4cdot4 + 2implies 18equiv 2pmod4

Passo 4

Os restos obtidos são
3,,0,,1,,2,
que equivalem exatamente ao conjunto 0,1,2,3. Como são quatro restos distintos e cobrem todas as classes mod 4, concluímos que o conjunto dado é um sistema completo de resíduos módulo 4.

Resposta

Sim, -13,4,17,18 é um sistema completo de resíduos módulo 4.

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