Verificação de solução
Verifique se as funções abaixo são soluções das respectivas equações diferenciais parciais (considere alpha, k e c constantes):
u(x, t)=e^-k t sin (k x) para a equação do calor:
partial upartial t=alpha partial^2 upartial x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
u(x,t)=e^-k tsin(k x)
satisfaz a equação do calor
partial upartial t=alphapartial^2 upartial x^2,
com alpha e k constantes. Para isso, vamos calcular partial upartial t e partial^2 upartial x^2 e comparar os dois lados da equação.

Passo 2

Calcular partial upartial t:
partial upartial t =partialpartial tl(e^-k tsin(k x)r) =-k,e^-k tsin(k x)

Passo 3

Calcular partial^2 upartial x^2:
partial upartial x =e^-k t,kcos(k x), partial^2 upartial x^2 =partialpartial xl(e^-k tkcos(k x)r) =-k^2,e^-k tsin(k x)

Passo 4

Substituindo na equação do calor:
Lado esquerdo (LE)
LE=-k,e^-k tsin(k x)
Lado direito (LD)
LD =alphal(-k^2,e^-k tsin(k x)r) =-alpha k^2,e^-k tsin(k x)
Para ter LE=LD é necessário
-k = -alpha k^2 Longrightarrow alpha k^2 = k Longrightarrow k(alpha k -1)=0

Resposta

A função u(x,t)=e^-k tsin(k x) satisfaz a equação do calor somente se
alpha k = 1 (ou trivialmente (k=0), <=vando à solução nula) àçã

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