Verificação de solução
Verifique se as funções abaixo são soluções das respectivas equações diferenciais parciais (considere alpha, k e c constantes):
u(x, t)=sin (k x) cos (k c t) para a equação da onda:
partial^2 upartial t^2=c^2 partial^2 upartial x^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
u(x,t)=sin(kx),cos(kc,t)
é solução da equação da onda
partial^2upartial t^2 = c^2,partial^2upartial x^2

Passo 2

Calcular a derivada segunda em relação a t. Primeiro,
partial upartial t =sin(kx),ddtl[cos(kc,t)r] =-sin(kx),k,c,sin(kc,t)
Derivando de novo em t:
partial^2upartial t^2 =-sin(kx),k,c,ddtl[sin(kc,t)r] =-sin(kx),k,c,(k,c),cos(kc,t) =-k^2c^2,sin(kx),cos(kc,t)

Passo 3

Calcular a derivada segunda em relação a x. Primeiro,
partial upartial x =ddxl[sin(kx)r],cos(kc,t) =k,cos(kx),cos(kc,t)
Derivando de novo em x:
partial^2upartial x^2 =k,ddxl[cos(kx)r],cos(kc,t) =-k^2,sin(kx),cos(kc,t)

Passo 4

Comparar os dois resultados:
partial^2upartial t^2 =-k^2c^2,sin(kx),cos(kc,t), c^2,partial^2upartial x^2 =c^2,l[-k^2,sin(kx),cos(kc,t)r] =-k^2c^2,sin(kx),cos(kc,t)
Como ambos são iguais, a função satisfaz a equação da onda.

Resposta

Sim, u(x,t)=sin(kx)cos(kc,t) é solução de
partial^2upartial t^2 = c^2,partial^2upartial x^2

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