Calcular:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{x-\pi}{\operatorname{cossec}(x) \cdot \operatorname{cotg}(x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to \frac\pi2}\frac{x-\pi}{\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x)}.
Aqui o conteúdo é análise de limites de funções trigonométricas quando o denominador tende a zero e o numerador a uma constante não nula. Vamos usar identidade trigonométrica para simplificar o denominador e depois estudar o comportamento próximo de x=\tfrac\pi2.

Passo 2

Reescrevemos a parte trigonométrica em função de seno e cosseno:
\operatorname{cossec}(x)=\frac1{\sin(x)}, \qquad \operatorname{cotg}(x)=\frac{\cos(x)}{\sin(x)},
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\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x) =\frac1{\sin(x)}\;\frac{\cos(x)}{\sin(x)} =\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)}.

Passo 3

Avaliaremos os limites das duas partes separadamente quando x\to\tfrac\pi2:
  1. Numerador: \lim_{x\to\frac\pi2}(x-\pi) =\frac\pi2-\pi =-\frac\pi2\neq0.
  2. Denominador: \lim_{x\to\frac\pi2}\frac{\cos(x)}{\sin^2(x)} =\frac{\cos(\frac\pi2)}{\sin^2(\frac\pi2)} =\frac{0}{1} =0.
Portanto estamos no caso “constante não nula dividido por algo que vai a zero”, o que gera diver­gência infinita.

Passo 4

Para ver se o limite bilateral existe, fazemos análise de sinal aproximando x=\tfrac\pi2 por x=\tfrac\pi2+h, com h\to0:
  • Se h>0 (direita),
    \cos(x)\approx\cos(\tfrac\pi2+h)=-\sin(h)<0 e \sin^2(x)>0, então
    \operatorname{cossec}\cdot\operatorname{cotg}\approx -h<0.
    Como x-\pi\approx(\tfrac\pi2+h)-\pi<0, o quociente é \tfrac{\text{negativo}}{\text{negativo}}=+\infty.
  • Se h<0 (esquerda),
    \cos(x)\approx -\sin(h)>0 e \sin^2(x)>0, então
    \operatorname{cossec}\cdot\operatorname{cotg}\approx -h>0.
    Numerador x-\pi<0 e denominador >0 dão quociente -\infty.

Passo 5

Os limites laterais são diferentes:
\lim_{x\to\frac\pi2^-}\frac{x-\pi}{\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x)} =-\infty, \qquad \lim_{x\to\frac\pi2^+}\frac{x-\pi}{\operatorname{cossec}(x)\,\operatorname{cotg}(x)} =+\infty.
Logo não existe limite finito nem limite infinito bilateral.

Resposta

O limite não existe (as duas marginais são -\infty e +\infty).

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