Verificar em cada caso, se
é um homomorfismo do anel
no anel
. E quando
for um homomorfismo, determinar o núcleo.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o anel
, o anel
e a aplicação
definida por
As perguntas são:
- Verificar se
é um homomorfismo de anel de em . - Se
for homomorfismo, determinar o núcleo de .
Passo 2
Vou primeiro explicitar a estrutura dos anéis
e
(eles são iguais como conjunto e operação): para
as operações são coordenada a coordenada:
O elemento neutro aditivo é
e o elemento unidade (se considerarmos anéis com 1) é
.
Passo 3
Lembrando a definição prática que vou usar: uma aplicação
entre anéis é homomorfismo de anéis se, para todos
,
(Algumas definições exigem também
, mas já que a multiplicação precisa ser preservada, uma falha em preservar o produto é suficiente para descartar
.)
Passo 4
Verificação da propriedade aditiva. Tomemos elementos genéricos
. Então
então aplicando
obtemos
Por outro lado,
Comparando, vemos que para todos
vale
Portanto
preserva a soma (é um homomorfismo aditivo).
Passo 5
Verificação da propriedade multiplicativa. Usando a multiplicação coordenada,
logo
Agora calcule
:
Comparando os dois resultados vemos que, em geral,
salvo em situações especiais (por exemplo se
). Para um contraexemplo concreto, tome
e
. Então
enquanto
e
. Logo
não preserva a multiplicação.
Passo 6
Conclusão: como
não preserva o produto,
não é um homomorfismo de anéis de
em
. Portanto não se pode falar do núcleo de
como núcleo de um homomorfismo de anéis (isto é, não temos um kernel ideal associado a um homomorfismo de anéis, já que a hipótese de homomorfismo falha).
Resposta
Núcleo: não aplicável (pois