Verificar em cada caso, se f: A \rightarrow B é um homomorfismo do anel A no anel B. E quando f for um homomorfismo, determinar o núcleo.
A=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, B=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} e f(x, y)=(2 x, 0).

Passo 1

O enunciado dá o anel A=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}, o anel B=\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} e a aplicação f\colon A\to B definida por
f(x,y)=(2x,0).
As perguntas são:
  1. Verificar se f é um homomorfismo de anel de A em B.
  2. Se f for homomorfismo, determinar o núcleo de f.

Passo 2

Vou primeiro explicitar a estrutura dos anéis A e B (eles são iguais como conjunto e operação): para (a,b),(c,d)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} as operações são coordenada a coordenada:
(a,b)+(c,d)=(a+c,\; b+d),
(a,b)\cdot(c,d)=(a c,\; b d).
O elemento neutro aditivo é (0,0) e o elemento unidade (se considerarmos anéis com 1) é (1,1).

Passo 3

Lembrando a definição prática que vou usar: uma aplicação f entre anéis é homomorfismo de anéis se, para todos u,v\in A,
f(u+v)=f(u)+f(v) \quad\text{e}\quad f(u\cdot v)=f(u)\cdot f(v).
(Algumas definições exigem também f(1_A)=1_B, mas já que a multiplicação precisa ser preservada, uma falha em preservar o produto é suficiente para descartar f.)

Passo 4

Verificação da propriedade aditiva. Tomemos elementos genéricos (x_1,y_1),(x_2,y_2)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}. Então
(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,\;y_1+y_2),
então aplicando f obtemos
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1+x_2,\;y_1+y_2)=(2(x_1+x_2),\;0)=(2x_1+2x_2,\;0).
Por outro lado,
f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2)=(2x_1,0)+(2x_2,0)=(2x_1+2x_2,\;0).
Comparando, vemos que para todos (x_1,y_1),(x_2,y_2) vale
f\big((x_1,y_1)+(x_2,y_2)\big)=f(x_1,y_1)+f(x_2,y_2).
Portanto f preserva a soma (é um homomorfismo aditivo).

Passo 5

Verificação da propriedade multiplicativa. Usando a multiplicação coordenada,
(x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)=(x_1x_2,\;y_1y_2),
logo
f\big((x_1,y_1)\cdot(x_2,y_2)\big)=f(x_1x_2,\;y_1y_2)=(2x_1x_2,\;0).
Agora calcule f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2):
f(x_1,y_1)\cdot f(x_2,y_2)=(2x_1,0)\cdot(2x_2,0)=(4x_1x_2,\;0).
Comparando os dois resultados vemos que, em geral,
(2x_1x_2,\;0)\neq(4x_1x_2,\;0),
salvo em situações especiais (por exemplo se x_1x_2=0). Para um contraexemplo concreto, tome (x_1,y_1)=(1,0) e (x_2,y_2)=(1,0). Então
f\big((1,0)\cdot(1,0)\big)=f(1,0)=(2,0),
enquanto
f(1,0)\cdot f(1,0)=(2,0)\cdot(2,0)=(4,0),
e (2,0)\neq(4,0). Logo f não preserva a multiplicação.

Passo 6

Conclusão: como f não preserva o produto, f não é um homomorfismo de anéis de A em B. Portanto não se pode falar do núcleo de f como núcleo de um homomorfismo de anéis (isto é, não temos um kernel ideal associado a um homomorfismo de anéis, já que a hipótese de homomorfismo falha).

Resposta

f não é um homomorfismo de anéis.
Núcleo: não aplicável (pois f não é homomorfismo).

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