Mostre que
, dada por
é um monomorfismo de anéis.
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
O que nos pedem: mostrar que
é um monomorfismo de anéis.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A definição explícita de
para qualquer número complexo . - O domínio é
(anel dos números complexos) e o contradomínio é (anel das matrizes com entradas reais). - Precisamos verificar as propriedades que caracterizam um monomorfismo de anéis (ou seja, um homomorfismo de anéis injetivo).]
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar (de modo simples e direto) o que significa ser homomorfismo e ser monomorfismo de anéis.
- Um homomorfismo de anéis
é uma aplicação que preserva soma e produto, isto é, para todos : e (Se estivermos falando de anéis com unidade e quisermos homomorfismo unitário, verificamos também .) - Um monomorfismo de anéis é simplesmente um homomorfismo de anéis que é injetivo (ou seja, distintos elementos do domínio têm imagens distintas).
Vamos, portanto, provar: (i)
preserva soma; (ii)
preserva produto; (iii)
é injetivo. Se tudo isso for verdadeiro,
é um monomorfismo.
Passo 3
Verificação da preservação da soma.
Sejam
e
, com
. Primeiro calculemos a soma em
:
Aplicando
à soma:
Agora calculemos
:
Comparando, vemos que
Assim,
preserva a soma.]
Passo 4
Verificação da preservação do produto.
Ainda com
e
, o produto em
é
Aplicando
ao produto obtém-se
Agora façamos o produto das matrizes
e
:
Multiplicando as matrizes (lembre: produto de matrizes é soma de produtos de entradas correspondentes das linhas pela coluna):
Portanto
Logo,
preserva o produto.]
Passo 5
Verificação da preservação da unidade e do zero (comentário adicional útil para prova).
- A unidade multiplicativa de
é . Aplicando : que é a unidade multiplicativa em . Assim, preserva a unidade. - O elemento zero atende
então também envia zero em zero (isto segue da preservação da soma, mas é bom verificar explicitamente).]
Passo 6
Verificação da injetividade (núcleo trivial).
Para mostrar que
é injetivo, mostraremos que a única pré-imagem do zero em
é
. Suponha que
Igualando entradas da matriz, obtemos
e
. Da segunda equação vem
. Assim
, ou seja,
. Portanto
, o que implica que
é injetivo.
Outra forma curta: se
então
e pelo argumento anterior
, logo
.]
Passo 7
Conclusão lógica e comentários finais.
Juntando os resultados:
- mostramos que
preserva soma e produto, logo é um homomorfismo de anéis; - mostramos que
é injetivo (núcleo trivial); - mostramos também que
, portanto é homomorfismo unitário.
Portanto
é um monomorfismo de anéis. Dá para ver intuitivamente por que isso faz sentido: a matriz
age no plano
exatamente como a multiplicação por
no plano complexo — por isso a correspondência preserva soma e produto e é injetiva. Força aí nos estudos, você conseguiu acompanhar toda a verificação passo a passo!]