Mostre que f: \mathbb{C} \rightarrow M_{2}(\mathbb{R}), dada por f(a+b i)=\left(\begin{array}{cc}a & -b \\\ b & a\end{array}\right), \forall a, b \in \mathbb{R} é um monomorfismo de anéis.

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{C}\to M_{2}(\mathbb{R}) definida por
f(a+bi)=\begin{pmatrix}a & -b \\[4pt] b & a\end{pmatrix},\qquad \forall a,b\in\mathbb{R}.
O que nos pedem: mostrar que f é um monomorfismo de anéis.
Informações relevantes fornecidas:
  • A definição explícita de f para qualquer número complexo a+bi.
  • O domínio é \mathbb{C} (anel dos números complexos) e o contradomínio é M_{2}(\mathbb{R}) (anel das matrizes 2\times2 com entradas reais).
  • Precisamos verificar as propriedades que caracterizam um monomorfismo de anéis (ou seja, um homomorfismo de anéis injetivo).]

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar (de modo simples e direto) o que significa ser homomorfismo e ser monomorfismo de anéis.
  • Um homomorfismo de anéis g:A\to B é uma aplicação que preserva soma e produto, isto é, para todos x,y\in A: g(x+y)=g(x)+g(y)e g(xy)=g(x)\,g(y).(Se estivermos falando de anéis com unidade e quisermos homomorfismo unitário, verificamos também g(1_A)=1_B.)
  • Um monomorfismo de anéis é simplesmente um homomorfismo de anéis que é injetivo (ou seja, distintos elementos do domínio têm imagens distintas).
Vamos, portanto, provar: (i) f preserva soma; (ii) f preserva produto; (iii) f é injetivo. Se tudo isso for verdadeiro, f é um monomorfismo.

Passo 3

Verificação da preservação da soma.
Sejam z_1=a+bi e z_2=c+di, com a,b,c,d\in\mathbb{R}. Primeiro calculemos a soma em \mathbb{C}:
z_1+z_2=(a+c)+(b+d)i.
Aplicando f à soma:
f(z_1+z_2)=f\big((a+c)+(b+d)i\big)=\begin{pmatrix}a+c & -(b+d) \\[4pt] b+d & a+c\end{pmatrix}.
Agora calculemos f(z_1)+f(z_2):
f(z_1)=\begin{pmatrix}a & -b \\[4pt] b & a\end{pmatrix},\qquad f(z_2)=\begin{pmatrix}c & -d \\[4pt] d & c\end{pmatrix},
f(z_1)+f(z_2)=\begin{pmatrix}a+c & -(b+d) \\[4pt] b+d & a+c\end{pmatrix}.
Comparando, vemos que
f(z_1+z_2)=f(z_1)+f(z_2).
Assim, f preserva a soma.]

Passo 4

Verificação da preservação do produto.
Ainda com z_1=a+bi e z_2=c+di, o produto em \mathbb{C} é
z_1z_2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i.
Aplicando f ao produto obtém-se
f(z_1z_2)=\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc) \\[4pt] ad+bc & ac-bd\end{pmatrix}.
Agora façamos o produto das matrizes f(z_1) e f(z_2):
f(z_1)f(z_2)= \begin{pmatrix}a & -b \\[4pt] b & a\end{pmatrix} \begin{pmatrix}c & -d \\[4pt] d & c\end{pmatrix}.
Multiplicando as matrizes (lembre: produto de matrizes é soma de produtos de entradas correspondentes das linhas pela coluna):
\begin{pmatrix} a\cdot c + (-b)\cdot d & a\cdot(-d) + (-b)\cdot c \\[6pt] b\cdot c + a\cdot d & b\cdot(-d) + a\cdot c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ac-bd & -(ad+bc) \\[4pt] ad+bc & ac-bd \end{pmatrix}.
Portanto
f(z_1)f(z_2)=\begin{pmatrix}ac-bd & -(ad+bc) \\[4pt] ad+bc & ac-bd\end{pmatrix}=f(z_1z_2).
Logo, f preserva o produto.]

Passo 5

Verificação da preservação da unidade e do zero (comentário adicional útil para prova).
  • A unidade multiplicativa de \mathbb{C} é 1=1+0i. Aplicando f: f(1)=f(1+0i)=\begin{pmatrix}1 & 0 \\[4pt] 0 & 1\end{pmatrix}=I_2,que é a unidade multiplicativa em M_2(\mathbb{R}). Assim, f preserva a unidade.
  • O elemento zero atende f(0)=f(0+0i)=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},então f também envia zero em zero (isto segue da preservação da soma, mas é bom verificar explicitamente).]

Passo 6

Verificação da injetividade (núcleo trivial).
Para mostrar que f é injetivo, mostraremos que a única pré-imagem do zero em M_2(\mathbb{R}) é 0\in\mathbb{C}. Suponha que
f(a+bi)=\begin{pmatrix}a & -b \\[4pt] b & a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0 \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Igualando entradas da matriz, obtemos a=0 e -b=0. Da segunda equação vem b=0. Assim a=b=0, ou seja, a+bi=0. Portanto \ker f=\{0\}, o que implica que f é injetivo.
Outra forma curta: se f(z_1)=f(z_2) então f(z_1-z_2)=0 e pelo argumento anterior z_1-z_2=0, logo z_1=z_2.]

Passo 7

Conclusão lógica e comentários finais.
Juntando os resultados:
  • mostramos que f preserva soma e produto, logo é um homomorfismo de anéis;
  • mostramos que f é injetivo (núcleo trivial);
  • mostramos também que f(1)=I_2, portanto é homomorfismo unitário.
Portanto f é um monomorfismo de anéis. Dá para ver intuitivamente por que isso faz sentido: a matriz \begin{pmatrix}a & -b \\[4pt] b & a\end{pmatrix} age no plano \mathbb{R}^2 exatamente como a multiplicação por a+bi no plano complexo — por isso a correspondência preserva soma e produto e é injetiva. Força aí nos estudos, você conseguiu acompanhar toda a verificação passo a passo!]

Resposta

f é um monomorfismo de anéis (isto é, um homomorfismo de anéis injetivo).

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