Calcule as seguintes integrais utilizando o Teorema de Green:
\int_{c} x y d x-x^{2} d y, onde C é o retângulo de vértices (0,0),(0,1),(3,1) e (3,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_{C} x y\,dx - x^{2}\,dy,
onde C é o retângulo com vértices (0,0), (0,1), (3,1), (3,0). O enunciado diz para usar o Teorema de Green. Não foi especificada a orientação de C; quando a orientação não é dita, assumimos a orientação positiva (contra‑horária, isto é, percorrer o contorno do domínio no sentido anti‑horário). O que devemos entregar é o valor numérico dessa integral de linha.

Passo 2

Explicando o que vamos usar (a pedido do enunciado): o Teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada C com uma integral dupla sobre a região R limitada por C. A forma do teorema é
\oint_{C} P(x,y)\,dx + Q(x,y)\,dy \;=\; \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
Aqui:
  • P(x,y) é a função que multiplica dx no integrando;
  • Q(x,y) é a função que multiplica dy;
  • \frac{\partial Q}{\partial x} é a derivada parcial de Q em relação a x;
  • \frac{\partial P}{\partial y} é a derivada parcial de P em relação a y;
  • dA é o elemento de área (no plano xy, dA = dx\,dy ou dy\,dx).
Vou explicar rapidamente o que são derivadas parciais: se Q(x,y) depende de x e y, a derivada parcial \partial Q/\partial x significa derivar Q tratando y como constante. Por exemplo, se Q(x,y)=x^2 y, então \partial Q/\partial x = 2x y.

Passo 3

Identificamos P e Q a partir do integrando dado:
P(x,y) = x y,\qquad Q(x,y) = -x^{2}.
Expliquei: P vem do termo multiplicando dx e Q vem do termo multiplicando dy.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green.
Derivada parcial de Q em relação a x:
\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^{2}) = -2x.
Aqui tratei y como constante; a derivada de x^{2} é 2x, e o sinal negativo permanece.
Derivada parcial de P em relação a y:
\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x y) = x.
Porque ao derivar x y em relação a y, x é constante e aparece multiplicando 1.

Passo 5

Aplicando a fórmula integrando a diferença das parciais:
\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2x - x = -3x.
Portanto, pelo Teorema de Green,
\oint_{C} x y\,dx - x^{2}\,dy \;=\; \iint_{R} (-3x)\,dA,
onde R é o retângulo com 0\le x\le 3 e 0\le y\le 1.

Passo 6

Vamos montar a integral dupla corretamente usando os limites do retângulo. Uma ordem conveniente é primeiro integrar em y (de 0 a 1) e depois em x (de 0 a 3):
\iint_{R} (-3x)\,dA \;=\; \int_{x=0}^{3}\int_{y=0}^{1} (-3x)\,dy\,dx.
Observe que -3x não depende de y, então a integral interna sobre y é simplesmente multiplicar por 1 (a medida do intervalo em y).

Passo 7

Calcule a integral interna em y:
\int_{y=0}^{1} (-3x)\,dy = (-3x)\cdot \bigl[y\bigr]_{0}^{1} = (-3x)\cdot (1-0) = -3x.
Agora integramos em x:
\int_{x=0}^{3} (-3x)\,dx = -3 \int_{0}^{3} x\,dx = -3\cdot \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{3}.
Calcule o valor numérico:
-3\cdot \frac{3^{2}}{2} = -3\cdot \frac{9}{2} = -\frac{27}{2}.

Passo 8

Interpretação final e observação: então a integral de linha pedida, com a orientação positiva (contra‑horária) do contorno C, vale -\dfrac{27}{2}. Se alguém tivesse percorrido C no sentido horário, o sinal mudaria (ficaria \dfrac{27}{2}), porque trocar a orientação inverte o sinal da integral de linha.

Resposta

-\dfrac{27}{2}

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