Calcule as seguintes integrais utilizando o Teorema de Green:
, onde C é o retângulo de vértices
e
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde
é o retângulo com vértices
. O enunciado diz para usar o Teorema de Green. Não foi especificada a orientação de
; quando a orientação não é dita, assumimos a orientação positiva (contra‑horária, isto é, percorrer o contorno do domínio no sentido anti‑horário). O que devemos entregar é o valor numérico dessa integral de linha.
Passo 2
Explicando o que vamos usar (a pedido do enunciado): o Teorema de Green relaciona uma integral de linha em torno de uma curva fechada
com uma integral dupla sobre a região
limitada por
. A forma do teorema é
Aqui:
-
é a função que multiplica no integrando; -
é a função que multiplica ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é a derivada parcial de em relação a ; -
é o elemento de área (no plano , ou ).
Vou explicar rapidamente o que são derivadas parciais: se
depende de
e
, a derivada parcial
significa derivar
tratando
como constante. Por exemplo, se
, então
.
Passo 3
Identificamos
e
a partir do integrando dado:
Expliquei:
vem do termo multiplicando
e
vem do termo multiplicando
.
Passo 4
Agora calculamos as derivadas parciais que aparecem no Teorema de Green.
Derivada parcial de
em relação a
:
Aqui tratei
como constante; a derivada de
é
, e o sinal negativo permanece.
Derivada parcial de
em relação a
:
Porque ao derivar
em relação a
,
é constante e aparece multiplicando
.
Passo 5
Aplicando a fórmula integrando a diferença das parciais:
Portanto, pelo Teorema de Green,
onde
é o retângulo com
e
.
Passo 6
Vamos montar a integral dupla corretamente usando os limites do retângulo. Uma ordem conveniente é primeiro integrar em
(de
a
) e depois em
(de
a
):
Observe que
não depende de
, então a integral interna sobre
é simplesmente multiplicar por
(a medida do intervalo em
).
Passo 7
Calcule a integral interna em
:
Agora integramos em
:
Calcule o valor numérico:
Passo 8
Interpretação final e observação: então a integral de linha pedida, com a orientação positiva (contra‑horária) do contorno
, vale
. Se alguém tivesse percorrido
no sentido horário, o sinal mudaria (ficaria
), porque trocar a orientação inverte o sinal da integral de linha.