Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
e^{t}\left(u^{\prime}+u\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
e^{t}\left(u^{\prime}+u\right)=0.
Pede duas coisas: (i) verificar que a equação é exata; (ii) encontrar a família de soluções. Vou listar claramente os dados: a equação pode ser escrita como uma 1-forma em t e u igual a zero, e precisamos achar uma função potencial cuja diferencial anula essa 1-forma. Nada mais é pedido.

Passo 2

Primeiro reescrevo a equação de forma diferencial (multiplicando por dt, lembrando que u'=du/dt):
e^{t}u' + e^{t}u = 0
multiplicando por dt obtemos
e^{t}\,du + e^{t}u\,dt = 0.
Assim posso identificar a 1-forma
M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du = 0
com
M(t,u)=e^{t}u,\qquad N(t,u)=e^{t}.

Passo 3

Agora explico o conceito de exatidão de maneira simples: a 1-forma M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du é exata se existe uma função \Phi(t,u) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial t}=M(t,u)\qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial u}=N(t,u).
Uma condição prática (em domínios simples) para exatidão é verificar se
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Vou calcular essas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(e^{t}u\bigr)=e^{t},
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(e^{t}\bigr)=e^{t}.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}, a 1-forma é exata.

Passo 4

Agora procuro a função potencial \Phi(t,u). Pela definição, \partial\Phi/\partial t=M(t,u)=e^{t}u. Integro essa relação em t, tratando u como constante durante a integração:
\Phi(t,u)=\int e^{t}u\,dt = u e^{t} + h(u),
onde h(u) é uma “constante” de integração que pode depender de u.

Passo 5

Determino h(u) impondo a segunda condição \partial\Phi/\partial u=N(t,u)=e^{t}. Calculo
\frac{\partial \Phi}{\partial u}=e^{t}+h'(u).
Igualando a N(t,u)=e^{t} obtenho
e^{t}+h'(u)=e^{t}\quad\Rightarrow\quad h'(u)=0.
Logo h(u) é uma constante real, digamos C_0. Assim
\Phi(t,u)=u e^{t}+C_0.

Passo 6

A solução geral da equação exata é dada implicitamente por \Phi(t,u)= constante. Podemos juntar as constantes e escrever a solução implícita:
u e^{t}=C,
onde C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Resolver explicitamente para u
u(t)=C e^{-t},
com C\in\mathbb{R}. Para checar rapidamente: u'(t)=-C e^{-t}, então u'+u=0 e, multiplicando por e^{t}, obtemos 0, portanto a solução satisfaz a equação original.

Resposta

u(t)=C e^{-t}

Exercícios relacionados