Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
.
Pede duas coisas: (i) verificar que a equação é exata; (ii) encontrar a família de soluções. Vou listar claramente os dados: a equação pode ser escrita como uma 1-forma em e
igual a zero, e precisamos achar uma função potencial cuja diferencial anula essa 1-forma. Nada mais é pedido.
Pede duas coisas: (i) verificar que a equação é exata; (ii) encontrar a família de soluções. Vou listar claramente os dados: a equação pode ser escrita como uma 1-forma em
Passo 2
Primeiro reescrevo a equação de forma diferencial (multiplicando por
, lembrando que
):
multiplicando por
obtemos
Assim posso identificar a 1-forma
com
Passo 3
Agora explico o conceito de exatidão de maneira simples: a 1-forma
é exata se existe uma função
tal que
Uma condição prática (em domínios simples) para exatidão é verificar se
Vou calcular essas derivadas parciais:
Como
, a 1-forma é exata.
Passo 4
Agora procuro a função potencial
. Pela definição,
. Integro essa relação em
, tratando
como constante durante a integração:
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
.
Passo 5
Determino
impondo a segunda condição
. Calculo
Igualando a
obtenho
Logo
é uma constante real, digamos
. Assim
Passo 6
A solução geral da equação exata é dada implicitamente por
constante. Podemos juntar as constantes e escrever a solução implícita:
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Resolver explicitamente para
dá
com
. Para checar rapidamente:
, então
e, multiplicando por
, obtemos
, portanto a solução satisfaz a equação original.