Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
\operatorname{sen} 2 t u^{\prime}+2 u \cos 2 t=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\sin 2t \, u^{\prime} + 2u \cos 2t = 0
e pede duas coisas: (i) verificar que a equação é exata; (ii) encontrar a família de soluções.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é u=u(t).
  • A derivada é u^{\prime}=\dfrac{du}{dt}.
  • A equação está escrita em termos de t e u: temos funções multiplicando dt e du.

Passo 2

Reescrevemos a equação como uma forma diferencial no padrão M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du = 0. Multiplicando ambos os lados por dt e rearranjando, obtemos
2u\cos 2t\,dt + \sin 2t\,du = 0.
Portanto podemos identificar
M(t,u)=2u\cos 2t,\qquad N(t,u)=\sin 2t.

Passo 3

Explico o critério de exatidão (rapidinho e sem mistério): uma forma diferencial M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du é exata em um domínio se existe uma função potencial \Phi(t,u) tal que \partial\Phi/\partial t=M e \partial\Phi/\partial u=N. Uma condição prática suficiente é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Agora calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\bigl(2u\cos 2t\bigr)=2\cos 2t,
\frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\sin 2t\bigr)=2\cos 2t.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=2\cos 2t, a forma é exata. Ou seja, existe \Phi(t,u) com d\Phi=0 ao longo das soluções.

Passo 4

Agora vamos achar a função potencial \Phi(t,u). Começo integrando \partial\Phi/\partial t=M(t,u) em relação a t, tratando u como constante durante essa integração:
\Phi(t,u)=\int 2u\cos 2t\,dt.
Como u é constante no integral em t, fatoramos u:
\Phi(t,u)=u\int 2\cos 2t\,dt.
Calculo o integral: \displaystyle \int 2\cos 2t\,dt=\sin 2t (pois a derivada de \sin 2t é 2\cos 2t). Logo
\Phi(t,u)=u\sin 2t + H(u),
onde H(u) é uma “constante” de integração que pode depender de u (porque ao integrar em t aparece uma função arbitrária de u).

Passo 5

Agora uso a condição \partial\Phi/\partial u=N(t,u) para determinar H(u). Calculo
\frac{\partial\Phi}{\partial u}=\sin 2t + H^{\prime}(u).
Igualando a N(t,u)=\sin 2t obtemos
\sin 2t + H^{\prime}(u)=\sin 2t \quad\Rightarrow\quad H^{\prime}(u)=0.
Portanto H(u) é constante. Chamo essa constante de C. Assim a função potencial é, até constante,
\Phi(t,u)=u\sin 2t + C.

Passo 6

A condição para soluções é que \Phi(t,u) seja constante ao longo da solução; ou seja, as soluções são as curvas de nível
u\sin 2t = K,
onde K é constante arbitrária (absorvendo o sinal, igual ao -C do passo anterior). Em forma explícita,
u(t)=\frac{K}{\sin 2t},
válida nos intervalos onde \sin 2t\neq 0. Note que K=0 dá a solução trivial u\equiv 0.

Passo 7

(obs. didática extra curta) Como verificação alternativa — útil para prova — a equação também se resolve por separação: escrevendo
\sin 2t\,\frac{du}{dt}=-2u\cos 2t
temos
\frac{1}{u}\,du=-2\cot 2t\,dt,
integrando ambos os lados chegamos a \ln|u|=-\ln|\sin 2t|+C, o que dá \ln|u\sin 2t|=C e novamente u\sin 2t=K. Mesmo resultado, duas rotas que chegam ao mesmo lugar — bom para checar no cartão da prova!

Resposta

u\sin 2t = C

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