Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (i) verificar que a equação é exata; (ii) encontrar a família de soluções.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é
. - A derivada é
. - A equação está escrita em termos de
e : temos funções multiplicando e .
Passo 2
Reescrevemos a equação como uma forma diferencial no padrão
. Multiplicando ambos os lados por
e rearranjando, obtemos
Portanto podemos identificar
Passo 3
Explico o critério de exatidão (rapidinho e sem mistério): uma forma diferencial
é exata em um domínio se existe uma função potencial
tal que
e
. Uma condição prática suficiente é
Agora calculo as derivadas parciais:
Como
, a forma é exata. Ou seja, existe
com
ao longo das soluções.
Passo 4
Agora vamos achar a função potencial
. Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante durante essa integração:
Como
é constante no integral em
, fatoramos
:
Calculo o integral:
(pois a derivada de
é
). Logo
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
aparece uma função arbitrária de
).
Passo 5
Agora uso a condição
para determinar
. Calculo
Igualando a
obtemos
Portanto
é constante. Chamo essa constante de
. Assim a função potencial é, até constante,
Passo 6
A condição para soluções é que
seja constante ao longo da solução; ou seja, as soluções são as curvas de nível
onde
é constante arbitrária (absorvendo o sinal, igual ao
do passo anterior). Em forma explícita,
válida nos intervalos onde
. Note que
dá a solução trivial
.
Passo 7
(obs. didática extra curta) Como verificação alternativa — útil para prova — a equação também se resolve por separação: escrevendo
temos
integrando ambos os lados chegamos a
, o que dá
e novamente
. Mesmo resultado, duas rotas que chegam ao mesmo lugar — bom para checar no cartão da prova!