Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (a) verificar que a equação é exata; (b) encontrar a família de soluções. Informações relevantes dadas: a função desconhecida é
e a derivada é
.
Passo 2
Reescrevendo a equação na forma diferencial padrão para testar exatidão, multiplico por
:
Escrevo essa forma como
onde, pela comparação, temos
Passo 3
Explicação didática do que é uma equação exata: uma equação na forma
é exata se existir uma função potencial
tal que
Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios adequados) é
Calculo as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Agora procuro a função potencial
. Começo integrando a condição
em relação a
, tratando
como constante:
onde
é uma função arbitrária de
(aparece porque a integração foi feita em
).
Passo 5
Determino
usando a outra condição
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Portanto devo ter
Integro em relação a
:
onde
é constante. Essa constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita. Assim escolho
e obtenho a função potencial
Passo 6
A solução geral de uma equação exata é dada por
constante. Logo a família de soluções implícita é
onde
é constante arbitrária. Se quiser a forma explícita para
,
usando a raiz cúbica (que é única no conjunto dos reais).
Resposta
A equação é exata.