Verificar que cada equação diferencial é exata e encontre a família de soluções
3 u^{2} u^{\prime}+t^{2}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
3\,u^{2}\,u'(t)+t^{2}=0
e pede duas coisas: (a) verificar que a equação é exata; (b) encontrar a família de soluções. Informações relevantes dadas: a função desconhecida é u(t) e a derivada é u'(t)=\dfrac{du}{dt}.

Passo 2

Reescrevendo a equação na forma diferencial padrão para testar exatidão, multiplico por dt:
3\,u^{2}\,du + t^{2}\,dt = 0.
Escrevo essa forma como
M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du = 0,
onde, pela comparação, temos
M(t,u) = t^{2},\qquad N(t,u)=3\,u^{2}.

Passo 3

Explicação didática do que é uma equação exata: uma equação na forma M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0 é exata se existir uma função potencial \Psi(t,u) tal que
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=M(t,u) \qquad\text{e}\qquad \frac{\partial \Psi}{\partial u}=N(t,u).
Uma condição prática (necessária e suficiente em domínios adequados) é
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial N}{\partial t}.
Calculo as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=\frac{\partial}{\partial u}\big(t^{2}\big)=0, \qquad \frac{\partial N}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(3u^{2}\big)=0.
Como \dfrac{\partial M}{\partial u}=\dfrac{\partial N}{\partial t}=0, a equação é exata.

Passo 4

Agora procuro a função potencial \Psi(t,u). Começo integrando a condição \Psi_{t}=M=t^{2} em relação a t, tratando u como constante:
\Psi(t,u)=\int t^{2}\,dt + h(u)=\frac{t^{3}}{3}+h(u),
onde h(u) é uma função arbitrária de u (aparece porque a integração foi feita em t).

Passo 5

Determino h(u) usando a outra condição \Psi_{u}=N=3u^{2}. Calculo \Psi_{u} a partir da expressão encontrada:
\Psi_{u}(t,u)=h'(u).
Portanto devo ter
h'(u)=3u^{2}.
Integro em relação a u:
h(u)=\int 3u^{2}\,du = u^{3} + C_{0},
onde C_{0} é constante. Essa constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita. Assim escolho h(u)=u^{3} e obtenho a função potencial
\Psi(t,u)=\frac{t^{3}}{3}+u^{3}.

Passo 6

A solução geral de uma equação exata é dada por \Psi(t,u)= constante. Logo a família de soluções implícita é
\frac{t^{3}}{3}+u^{3}=C,
onde C é constante arbitrária. Se quiser a forma explícita para u,
u(t)=\sqrt[3]{\,C-\frac{t^{3}}{3}\,}\,,
usando a raiz cúbica (que é única no conjunto dos reais).

Resposta

A equação é exata.
\displaystyle \frac{t^{3}}{3}+u^{3}=C

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