Verifique que
sumn=0^infty(-1)^n a^n=1-a+a^2-a^3+cdots=11+a, |a|<1
Sugestão: substitua x por -a em 1+x+x^2+x^3+cdots+x^n=(1-x^n+1) /(1-x).

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a série com termos alternados
sumn=0^infty(-1)^na^n=1 - a + a^2 - a^3 + cdots
converge para 11 + a sob a condição |a|<1. O conteúdo principal é séries geométricas e vamos precisar usar a fórmula de soma finita de uma progressão geométrica e depois passar ao limite n to infty.

Passo 2

Começamos lembrando a soma finita de uma progressão geométrica: dado xneq 1,
1 + x + x^2 + cdots + x^n = 1 - x^n+11 - x

Passo 3

Substituindo x por -a na expressão acima, obtemos a soma parcial
Sn = 1 + (-a) + (-a)^2 + cdots + (-a)^n = 1 - (-a)^n+11 - (-a) = 1 - (-a)^n+11 + a

Passo 4

Como |a|<1, temos (-a)^n+1 to 0 quando n to infty. Logo,
limntoinftySn = limntoinfty1 - (-a)^n+11 + a = 11 + a

Passo 5

Concluímos que
sumn=0^infty(-1)^na^n = 11 + a,
com a condição de convergência |a|<1.

Resposta

11 + a

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