Verificar se as seguintes funções são harmônicas em algum domínio.
f(x, y, z)=x z+ln x y

Passo 1

O enunciado pede para checar se a função é harmônica, ou seja, se sua laplaciana é zero em algum domínio. O conteúdo é laplaciana em ℝ³ e vamos precisar das segundas derivadas parciais de f. Observamos também que há um ln(xy), logo o domínio natural é x>0 e y>0.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de primeira ordem. Como f(x,y,z)=xz+ln(xy), podemos usar ln(xy)=ln x+ln y. Então:
f_x = ∂/∂x (xz) + ∂/∂x (ln x + ln y)
f_x = z + 1/x
f_y = ∂/∂y (xz) + ∂/∂y (ln x + ln y)
f_y = 0 + 1/y
f_z = ∂/∂z (xz) + ∂/∂z (ln x + ln y)
f_z = x + 0

Passo 3

Agora obtemos as segundas derivadas parciais necessárias para a laplaciana Δf = f_xx + f_yy + f_zz.
f_xx = ∂/∂x (z + 1/x) = -1/x^2
f_yy = ∂/∂y (1/y) = -1/y^2
f_zz = ∂/∂z (x) = 0

Passo 4

Somando as segundas derivadas temos a laplaciana:
Δf = f_xx + f_yy + f_zz
Δf = -1/x^2 - 1/y^2 + 0
Note que -1/x^2 - 1/y^2 nunca é zero para x>0, y>0. Portanto não existe subdomínio em que Δf≡0.

Resposta

A função não é harmônica em nenhum domínio de ℝ³ em que esteja definida.

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