a) Verificar se é conservativa ou não a força: F=sen(y) cdot e^x imath-cos (y) cdot e^y jmath+z k
b) Calcule a energia potencial associada à força:
F=-e^x cdot cos (y+z) imath+e^x cdot sen(y+z)(jmath+k)

Passo 1

Temos duas tarefas.
(a) Verificar se o campo
F = sin(y),e^x,hatimath ;-;cos(y),e^y,hatjmath;+;z,hat k
é conservativo. Para isso vamos usar o teste do rotacional: um campo definido num domínio simplesmente conexo é conservativo se e só se nablatimesvec F = vec0.
(b) Calcular a energia potencial (função U) associada ao campo
F = -e^xcos(y+z),hatimath ;+;e^xsin(y+z),(hatjmath+hat k),
sabendo que para um campo conservativo vale vec F = -nabla U.

Passo 2

Calcular nablatimesvec F para o item (a). Escrevendo vec F = (P,Q,R) com
P = sin(y)e^x, Q = -cos(y)e^y, R = z,
temos
(nablatimesvec F)x = partial Rpartial y - partial Qpartial z = 0 - 0 = 0,
(nablatimesvec F)y = partial Ppartial z - partial Rpartial x = 0 - 0 = 0,
(nablatimesvec F)z = partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - l(cos(y)e^xr) = -cos(y)e^x

Passo 3

Como nablatimesvec F = (0,0,-cos(y)e^x)neqvec0 em geral, concluímos que o campo do item (a) não é conservativo.

Passo 4

Para o item (b) assumimos que o campo é conservativo e procuramos U(x,y,z) tal que
vec F = -nabla U Longrightarrow partial Upartial x = -P,; partial Upartial y = -Q,; partial Upartial z = -R
Aqui P = -e^xcos(y+z), Q = e^xsin(y+z), R = e^xsin(y+z).

Passo 5

Integrar partial U/partial x = -P = e^xcos(y+z) em relação a x:
U(x,y,z) = integral e^xcos(y+z),dx = e^xcos(y+z) + g(y,z),
onde g(y,z) é uma “constante” de integração que pode depender só de y,z.

Passo 6

Impor agora as outras duas condições:
partial Upartial y = -e^xsin(y+z) + partial gpartial y = -Q = -e^xsin(y+z) ;Longrightarrow; partial gpartial y=0,
partial Upartial z = -e^xsin(y+z) + dgdz = -R = -e^xsin(y+z) ;Longrightarrow; dgdz=0
Logo g é constante.

Passo 7

Portanto a energia potencial é, salvo constante arbitrária,
U(x,y,z) = e^xcos(y+z) + C

Resposta

(a) O campo não é conservativo.
(b) U(x,y,z) = e^xcos(y+z) + C.

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