Verifique se cada função a seguir é contínua no ponto “a” indicado:
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x-1} & \text { se } x \neq 1 \\\\ 2 & \text { se } x=1\end{array} \quad a=1\right.
f(x)=\frac{x^{2}-1}{x+1} \quad a=-1
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-1}{x+1} & \text { se } x \neq-1 \\\\ 6 & \text { se } x=-1\end{array} \quad a=-1\right.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^{2}-2 x-8}{x-4} & \text { se } x \neq 4 \\\\ 3 & \text { se } x=4\end{array} \quad a=4\right.
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x & \text { se } x \leqslant 2 \\\ x^{2}-2 x & \text { se } x>2\end{array} \quad . \quad a=2\right.

Passo 1

O enunciado apresenta cinco funções e pede para verificar se são contínuas no ponto a indicado. Lembrando que uma função f é contínua em a se e somente se satisfaz simultaneamente:
  1. f(a) está definido,
  2. \lim_{x\to a}f(x) existe (inclusive as duas laterais são iguais),
  3. \lim_{x\to a}f(x)=f(a).

Passo 2

Vamos aplicar esse critério a cada função, calculando f(a), o limite \lim_{x\to a}f(x) (e suas laterais quando necessário) e comparando.

Passo 3

Para
f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{x-1},&x\neq1,\\\\ 2,&x=1 \end{cases} \quad a=1:
temos f(1)=2. Porém
\lim_{x\to1^-}\frac{1}{x-1}=-\infty \quad\text{e}\quad \lim_{x\to1^+}\frac{1}{x-1}=+\infty,
logo \lim_{x\to1}f(x) não existe. Portanto não é contínua em 1.

Passo 4

Para
f(x)=\frac{x^2-1}{x+1}, \quad a=-1:
o valor f(-1) não está definido (denominador zero). A condição de existência de f(a) já falha, então não é contínua em -1.

Passo 5

Para
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-1}{x+1},&x\neq-1,\\\\ 6,&x=-1 \end{cases} \quad a=-1:
quando x\neq-1 podemos simplificar
\frac{x^2-1}{x+1}=x-1,
então
\lim_{x\to-1}f(x)=(-1)-1=-2\neq f(-1)=6.
Logo não é contínua em -1.

Passo 6

Para
f(x)= \begin{cases} \dfrac{x^2-2x-8}{x-4},&x\neq4,\\\\ 3,&x=4 \end{cases} \quad a=4:
quando x\neq4 fatoramos
x^2-2x-8=(x-4)(x+2),
logo
f(x)=x+2\quad(x\neq4),
e
\lim_{x\to4}f(x)=4+2=6\neq f(4)=3.
Portanto não é contínua em 4.

Passo 7

Para
f(x)= \begin{cases} 1-x,&x\le2,\\\ x^2-2x,&x>2 \end{cases} \quad a=2:
temos f(2)=1-2=-1. O limite pela esquerda é
\lim_{x\to2^-}(1-x)=1-2=-1,
e pela direita é
\lim_{x\to2^+}(x^2-2x)=4-4=0.
Como as laterais não coincidem, \lim_{x\to2}f(x) não existe, logo não é contínua em 2.

Resposta

Função 1: não contínua em 1
Função 2: não contínua em -1
Função 3: não contínua em -1
Função 4: não contínua em 4
Função 5: não contínua em 2

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