- Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
onde
.
5.
5.
Passo 1
Nesse exercício a gente quer mostrar que a função
satisfaz a equação de Laplace
. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais de primeira e segunda ordem e aplicação da regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de
. Usando a regra da cadeia para
, temos:
Passo 3
Em seguida, derivamos mais uma vez para obter as derivadas de segunda ordem. A partir de
e
, aplicamos a regra da cadeia de novo:
Passo 4
Por fim, substituímos essas derivadas na equação de Laplace e vemos que elas se cancelam:
Resposta
Como o resultado é zero, concluímos que
é solução da equação de Laplace dada.