1. Mostre que cada função abaixo é solução da Equação de Laplace
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=0
onde u=u(x, y).
5. u=(x-y)^3

Passo 1

Nesse exercício a gente quer mostrar que a função u(x,y)=(x-y)^3 satisfaz a equação de Laplace partial^2upartial x^2-partial^2upartial y^2=0. O conteúdo principal aqui é derivadas parciais de primeira e segunda ordem e aplicação da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem de u. Usando a regra da cadeia para u=(x-y)^3, temos:
partial upartial x=3(x-y)^2
partial upartial y=-3(x-y)^2

Passo 3

Em seguida, derivamos mais uma vez para obter as derivadas de segunda ordem. A partir de partial upartial x=3(x-y)^2 e partial upartial y=-3(x-y)^2, aplicamos a regra da cadeia de novo:
partial^2 upartial x^2=6(x-y)
partial^2 upartial y^2=6(x-y)

Passo 4

Por fim, substituímos essas derivadas na equação de Laplace e vemos que elas se cancelam:
partial^2 upartial x^2-partial^2 upartial y^2=6(x-y)-6(x-y)=0

Resposta

Como o resultado é zero, concluímos que u=(x-y)^3 é solução da equação de Laplace dada.

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