Verificar a convergência das séries
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da série a partir de
. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar aplicar o teste de comparação (ou integral) para séries positivas e decrescentes.
Passo 2
Primeiro, reindexamos a série para enxergá-la como um trecho da série harmônica. Se chamarmos
, então quando
temos
, e a série se torna
Passo 3
Agora usamos o teste de comparação. Para todo
vale
, logo
. Como sabemos que
(série harmônica) diverge, a série
também diverge; e portanto uma série maior ou igual termo a termo a ela também diverge.
Passo 4
Alternativamente, pelo teste da integral, consideramos a função
, que é positiva e decrescente em
. Calculamos a integral imprópria
o que mostra divergência da série. Portanto, em qualquer abordagem, a série não converge.
Resposta
A série diverge.