Verificar a convergência das séries
13+14+15+cdots+1n+3+cdots

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série a partir de tfrac13+tfrac14+tfrac15+cdots+tfrac1n+3+cdots. O conteúdo aqui é teste de convergência de séries numéricas, e vamos precisar aplicar o teste de comparação (ou integral) para séries positivas e decrescentes.

Passo 2

Primeiro, reindexamos a série para enxergá-la como um trecho da série harmônica. Se chamarmos k=n+3, então quando n=0 temos k=3, e a série se torna sumn=0^infty1n+3=sumk=3^infty1k

Passo 3

Agora usamos o teste de comparação. Para todo k>=3 vale k+0<=2k, logo tfrac1k>=tfrac12k. Como sabemos que sumk=1^inftytfrac1k (série harmônica) diverge, a série sumk=3^inftytfrac12k=tfrac12sumk=3^inftytfrac1k também diverge; e portanto uma série maior ou igual termo a termo a ela também diverge.

Passo 4

Alternativamente, pelo teste da integral, consideramos a função f(x)=1/x, que é positiva e decrescente em [3,infty). Calculamos a integral imprópria integral3^inftydxx=limttoinfty[ln x]3^t=infty, o que mostra divergência da série. Portanto, em qualquer abordagem, a série não converge.

Resposta

A série diverge.

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