Verificar a convergência das séries
sum 2^-n 3^n-2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty 2^-n3^n-2. Esse problema entra na matéria de séries numéricas, e vamos precisar reconhecer séries geométricas e aplicar o critério de convergência para elas.

Passo 2

Começamos simplificando o termo geral. Note que 3^n-2=3^n/3^2 e 2^-n=1/2^n, então
sumn=1^infty 2^-n3^n-2=sumn=1^infty 3^n2^ncdot 3^2=19sumn=1^inftyl(32r)^n

Passo 3

Uma série geométrica geral é de forma sumn=1^infty a,q^n e ela converge se, e somente se, |q|<1. Caso contrário, ou seja, |q|>=1, a série diverge.

Passo 4

Aqui temos q=tfrac32, e como |q|=1,5>1, os termos não tendem a zero e o critério garante que a série diverge.

Resposta

A série diverge.

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