Um tanque com uma capacidade de 300 litros originalmente contém 50 litros de água com 3 kg de alumínio dissolvidos. Água contendo 0.1 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A solução bem misturada sai do tanque à uma taxa de 2 litros por minuto. Seja Q(t) a quantidade de alumínio no tanqué (em kg) no tempo t.
(b) Determine a expressão de Q(t) resolvendo o problema de valor inicial anterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um tanque onde água com alumínio entra e sai, e queremos descobrir como a quantidade de alumínio no tanque muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e mistura de soluções. Precisaremos entender as taxas de entrada e saída, além de como isso afeta a quantidade de alumínio no tanque.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
  • Capacidade do tanque: 300 litros
  • Volume inicial de água: 50 litros
  • Quantidade inicial de alumínio: 3 kg
  • Taxa de entrada de água: 4 litros por minuto, com 0.1 kg de alumínio por litro
  • Taxa de saída de água: 2 litros por minuto
Queremos encontrar $ Q(t) $, que é a quantidade de alumínio no tanque no tempo $ t $.

Passo 3

Vamos determinar como o volume de água no tanque muda com o tempo. A água entra a 4 litros por minuto e sai a 2 litros por minuto, então o volume no tanque aumenta a uma taxa de $ 4 - 2 = 2 $ litros por minuto.
Portanto, o volume de água no tanque em qualquer tempo $ t $ é:
4 - 2 = 2

Passo 4

Agora, vamos montar a equação que descreve a taxa de variação de alumínio no tanque, $ \frac{dQ}{dt} $. Essa taxa é igual à taxa de entrada de alumínio menos a taxa de saída de alumínio.
A taxa de entrada de alumínio é:
dQdt
A taxa de saída de alumínio depende da concentração de alumínio no tanque no tempo $ t $, que é $ \frac{Q(t)}{V(t)} $. Então:
Entrada = 4 , litros/min times 0.1 , kglitro = 0.4 , kgmin í

Passo 5

Agora, colocamos tudo na equação diferencial:
dQdt = Entrada - Saída = 0.4 - 2Q(t)50 + 2t í
Simplificando:
dQdt + 2Q(t)50 + 2t = 0.4

Passo 6

Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma:
dQdt + P(t)Q = f(t)
Onde:
P(t) = 250 + 2t e f(t) = 0.4
Vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
mu(t)

Passo 7

Calculando a integral para o fator integrante:
integral 250 + 2t dt = ln|50 + 2t| + C
Portanto:
mu(t) = e^ln|50 + 2t| = 50 + 2t

Passo 8

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) $:
mu(t)
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(t)Q $:
(50 + 2t)dQdt + 2Q = 0.4(50 + 2t)

Passo 9

Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
t
Isso resulta em:
integral ddt[(50 + 2t)Q] dt = integral 0.4(50 + 2t) dt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 10

Simplificando a expressão:
(50 + 2t)Q = 20t + 0.4t^2 + C
Agora, vamos determinar $ C $ usando a condição inicial $ Q(0) = 3 $ kg.

Passo 11

Substituindo $ t = 0 $ e $ Q(0) = 3 $ na equação:
t = 0

Passo 12

Voltando à equação com o valor de $ C $:
C
Agora, isolamos $ Q(t) $:
(50 + 2t)Q = 20t + 0.4t^2 + 150

Resposta

A expressão para $ Q(t) $, a quantidade de alumínio no tanque no tempo $ t $, é:
Q(t)

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