Um tanque com uma capacidade de 300 litros originalmente contém 50 litros de água com 3 kg de alumínio dissolvidos. Água contendo 0.1 kg de alumínio por litro entra no tanque a uma taxa de 4 litros por minuto. A solução bem misturada sai do tanque à uma taxa de 2 litros por minuto. Seja
a quantidade de alumínio no tanqué (em kg) no tempo
.
(b) Determine a expressão de
resolvendo o problema de valor inicial anterior.
(b) Determine a expressão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um tanque onde água com alumínio entra e sai, e queremos descobrir como a quantidade de alumínio no tanque muda ao longo do tempo. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais e mistura de soluções. Precisaremos entender as taxas de entrada e saída, além de como isso afeta a quantidade de alumínio no tanque.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que sabemos:
- Capacidade do tanque: 300 litros
- Volume inicial de água: 50 litros
- Quantidade inicial de alumínio: 3 kg
- Taxa de entrada de água: 4 litros por minuto, com 0.1 kg de alumínio por litro
- Taxa de saída de água: 2 litros por minuto
Queremos encontrar $ Q(t) $, que é a quantidade de alumínio no tanque no tempo $ t $.
Passo 3
Vamos determinar como o volume de água no tanque muda com o tempo. A água entra a 4 litros por minuto e sai a 2 litros por minuto, então o volume no tanque aumenta a uma taxa de $ 4 - 2 = 2 $ litros por minuto.
Portanto, o volume de água no tanque em qualquer tempo $ t $ é:
Passo 4
Agora, vamos montar a equação que descreve a taxa de variação de alumínio no tanque, $ \frac{dQ}{dt} $. Essa taxa é igual à taxa de entrada de alumínio menos a taxa de saída de alumínio.
A taxa de entrada de alumínio é:
A taxa de saída de alumínio depende da concentração de alumínio no tanque no tempo $ t $, que é $ \frac{Q(t)}{V(t)} $. Então:
Passo 5
Agora, colocamos tudo na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem, que tem a forma:
Onde:
Vamos encontrar o fator integrante $ \mu(t) $, que é dado por:
Passo 7
Calculando a integral para o fator integrante:
Portanto:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante $ \mu(t) $:
O lado esquerdo agora é a derivada do produto $ \mu(t)Q $:
Passo 9
Integrando ambos os lados em relação a $ t $:
Isso resulta em:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 10
Simplificando a expressão:
Agora, vamos determinar $ C $ usando a condição inicial $ Q(0) = 3 $ kg.
Passo 11
Substituindo $ t = 0 $ e $ Q(0) = 3 $ na equação:
Passo 12
Voltando à equação com o valor de $ C $:
Agora, isolamos $ Q(t) $:
Resposta
A expressão para $ Q(t) $, a quantidade de alumínio no tanque no tempo $ t $, é: