Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=4}^{+\infty} 3\left(\frac{5}{8}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a série \displaystyle \sum_{n=4}^{\infty}3\Bigl(\frac{5}{8}\Bigr)^{n},
que é uma série geométrica com termo geral a_{n}=3\,(5/8)^{n}.
Para verificar convergência, basta observar o razão \displaystyle r=\frac{5}{8}.

Passo 2

Como \lvert r\rvert=\tfrac{5}{8}<1, a série geométrica converge.

Passo 3

A soma parcial S_{n}=\sum_{k=4}^{n}3\,(5/8)^{k} é dada pela fórmula geral de soma de geométrica:
S_{n} =3\,(5/8)^{4}\,\frac{1-(5/8)^{\,n-3}}{1-(5/8)}
Podemos também escrever
S_{n} =\frac{3\bigl((5/8)^{4}-(5/8)^{n+1}\bigr)}{1-\tfrac{5}{8}}.

Passo 4

Para a soma ao infinito, fazemos n\to\infty, eliminando o termo (5/8)^{n+1}:
S =\lim_{n\to\infty}S_{n} =\frac{3\,(5/8)^{4}}{1-\tfrac{5}{8}} =3\,(5/8)^{4}\,\frac{8}{3} =8\,(5/8)^{4} =\frac{625}{512}.

Resposta

A série é convergente.
S_{n} =3\,(5/8)^{4}\,\frac{1-(5/8)^{\,n-3}}{1-(5/8)}, \quad S=\frac{625}{512}.

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