Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2^{n-1}}{3^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n},
encontrar uma fórmula para a soma parcial S_n e calcular a soma total. O conteúdo é série geométrica, que converge se o módulo da razão for menor que 1 e cuja soma parcial tem fórmula conhecida.

Passo 2

Reescrevemos o termo geral em forma canônica de série geométrica. Note que
\frac{2^{n-1}}{3^n} =\frac{1}{3}\,\biggl(\frac{2}{3}\biggr)^{n-1},
logo é uma série geométrica com primeiro termo
a_1=\frac{1}{3}
e razão
r=\frac{2}{3}.

Passo 3

Aplicamos o critério de convergência para séries geométricas:
se \lvert r\rvert<1, a série converge. Aqui
\bigl\lvert\tfrac{2}{3}\bigr\rvert=\tfrac{2}{3}<1,
portanto a série converge.

Passo 4

A soma parcial S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{2^{k-1}}{3^k} é dada por
S_n =a_1\,\frac{1-r^n}{1-r} =\frac{1}{3}\,\frac{1-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n}{1-\tfrac{2}{3}} =\frac{1}{3}\,\frac{1-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n}{\tfrac{1}{3}} =1-\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n.

Passo 5

A soma total da série é o limite de S_n quando n\to\infty:
S=\lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}\Bigl[1-\bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^n\Bigr] =1-0 =1.

Resposta

A série converge.
S_n = 1 - \Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^n,
e sua soma é
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{3^n}=1.

Exercícios relacionados