Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{4}{n(n+2)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+2)},
verificar se ela converge, encontrar uma expressão fechada para a soma parcial \displaystyle S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{4}{k(k+2)}
e depois calcular o valor de \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+2)}.
O conteúdo principal é decomposição em frações parciais e soma telescópica.

Passo 2

Fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{4}{n(n+2)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+2}.
Multiplicando por n(n+2)\) obtemos \[4 = A(n+2) + Bn = (A+B)\,n + 2A.
Igualando coeficientes:
\begin{cases} A+B=0,\\\\ 2A=4, \end{cases}
logo A=2\] e \(B=-2. Assim
\frac{4}{n(n+2)}=\frac{2}{n}-\frac{2}{n+2}.

Passo 3

Escrevemos então a soma parcial como
S_{n} =\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{2}{k}-\frac{2}{k+2}\Bigr).
Ao expandir, os termos se cancelam em estilo telescópico:
S_{n} =2\Bigl(\frac1{1}+\frac1{2}+\frac1{3}+\cdots+\frac1{n}\Bigr) -2\Bigl(\frac1{3}+\frac1{4}+\cdots+\frac1{n+2}\Bigr).
Sobram apenas os primeiros dois termos do primeiro somatório e os dois últimos do segundo com sinal negativo:
S_{n} =2\Bigl(\frac1{1}+\frac1{2}\Bigr) -2\Bigl(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\Bigr) =3 \;-\;2\Bigl(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\Bigr).

Passo 4

Para verificar convergência, analisamos o limite de S_{n} quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty}S_{n} =\lim_{n\to\infty}\Bigl[3 - 2\bigl(\tfrac1{n+1}+\tfrac1{n+2}\bigr)\Bigr] =3-2\cdot0=3.
Portanto a série converge e sua soma é 3.

Resposta

A série converge por telescópica. A soma parcial é
S_{n}=3 \;-\;2\Bigl(\frac1{n+1}+\frac1{n+2}\Bigr)
e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4}{n(n+2)}=3.

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