Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n-1}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}},
encontrar a fórmula do somatório parcial S_{n} e calcular a soma total. O conteúdo aqui é série geométrica, e vamos usar o critério de convergência \lvert r\rvert<1 e a fórmula
S_{n}=a\,\frac{1-r^{n}}{1-r}.

Passo 2

Identificamos que cada termo da série é da forma
a\;r^{\,n-1}
com a=2 e r=\tfrac{1}{5}. Como \lvert r\rvert=\tfrac{1}{5}<1, a série converge.

Passo 3

Aplicando a fórmula do somatório parcial de uma série geométrica, temos
S_{n} =2\;\frac{1-\bigl(\tfrac{1}{5}\bigr)^{n}}{1-\tfrac{1}{5}} =2\;\frac{1-(1/5)^{n}}{4/5} =\frac{5}{2}\,\bigl(1-5^{-n}\bigr).

Passo 4

Para obter a soma total, tomamos o limite de S_{n} quando n\to\infty. Como 5^{-n}\to0, segue
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}} =\lim_{n\to\infty}S_{n} =\frac{5}{2}\,\bigl(1-0\bigr) =\frac{5}{2}.

Resposta

A série converge.
S_{n}=\frac{5}{2}\,\bigl(1-5^{-n}\bigr) \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{\,n-1}}=\frac{5}{2}.

Exercícios relacionados