Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=0}^{+\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=0}^{+\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n
que é uma série geométrica de razão r=\tfrac12. Vamos verificar convergência usando o critério de séries geométricas, depois obter a fórmula da soma parcial S_n e, por fim, tirar o limite n\to\infty.

Passo 2

Uma série geométrica \sum_{n=0}^\infty r^n converge se, e somente se, \lvert r\rvert<1. Aqui r=\tfrac12 e \lvert\tfrac12\rvert=0,5<1, logo a série converge.

Passo 3

Para a soma parcial
S_n = \sum_{k=0}^n \Bigl(\tfrac12\Bigr)^k
usamos a fórmula padrão de progressão geométrica:
S_n = \frac{1 - r^{\,n+1}}{1 - r}
Substituindo r=\tfrac12,
S_n = \frac{1 - \left(\tfrac12\right)^{n+1}}{1 - \tfrac12} = \frac{1 - \left(\tfrac12\right)^{n+1}}{\tfrac12} = 2\Bigl[1 - \bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}\Bigr].

Passo 4

Para achar a soma da série, tomamos o limite de S_n quando n\to\infty. Como \bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}\to0, temos
\lim_{n\to\infty}S_n = 2\bigl[1 - 0\bigr] = 2.

Resposta

A série converge.
S_n = 2\Bigl[1 - \bigl(\tfrac12\bigr)^{n+1}\Bigr] \quad\text{e}\quad \sum_{n=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^n = 2.

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