Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para
e calcular a soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série
que é uma série geométrica de razão
. Vamos verificar convergência usando o critério de séries geométricas, depois obter a fórmula da soma parcial
e, por fim, tirar o limite
.
Passo 2
Uma série geométrica
converge se, e somente se,
. Aqui
e
, logo a série converge.
Passo 3
Para a soma parcial
usamos a fórmula padrão de progressão geométrica:
Substituindo
,
Passo 4
Para achar a soma da série, tomamos o limite de
quando
. Como
, temos
Resposta
A série converge.