Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=0}^{+\infty} 2\left(\frac{2}{3}\right)^{n}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série
\sum_{n=0}^{+\infty} 2\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n}.
Isso é uma série geométrica com termo inicial a=2 (quando n=0) e razão r=\tfrac{2}{3}. Vamos primeiro verificar a convergência, depois achar a soma parcial S_{n} e finalmente o valor da soma infinita.

Passo 2

Uma série geométrica \sum a\,r^{n} converge exatamente quando \lvert r\rvert<1. Aqui temos
r = \tfrac{2}{3},
e \lvert\tfrac{2}{3}\rvert = \tfrac{2}{3}<1. Logo a nossa série converge.

Passo 3

A soma parcial S_{n} da série geométrica é dada por
S_{n} = \sum_{k=0}^{n} 2\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{k} = 2\;\frac{1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{\,n+1}}{1 - \tfrac{2}{3}} = 2\;\frac{1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{\,n+1}}{\tfrac{1}{3}} = 6\Bigl[1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{\,n+1}\Bigr].

Passo 4

Para obter a soma da série infinita, tomamos o limite de S_{n} quando n\to\infty. Como \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{n+1}\to0, temos
\lim_{n\to\infty}S_{n} = 6\Bigl[1 - 0\Bigr] = 6.

Resposta

A série converge porque \lvert r\rvert = \tfrac{2}{3}<1.
A soma parcial é
S_{n} = 6\Bigl[1 - \bigl(\tfrac{2}{3}\bigr)^{\,n+1}\Bigr].
A soma infinita vale
\sum_{n=0}^{\infty} 2\Bigl(\tfrac{2}{3}\Bigr)^{n} = 6.

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