Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para
e calcular a soma.
Passo 1
O enunciado pede para estudar a série \r
usando a ideia de séries telescópicas: vamos decompor o termo geral em frações parciais, somar as parcelas até
e depois passar ao limite.
Passo 2
Fazendo frações parciais, achamos constantes
\r
Multiplicando em cruz: \r
Igualando coeficientes em
e termo constante, obtemos \r
logo
,
. \r
Portanto \r
Passo 3
A soma parcial
vira \r
Passo 4
Como \r
a sequência de somas parciais
converge, e o valor da série é \r
Resposta
A soma parcial é \r
e a série converge para \r