Verificar a convergência das séries, encontrar uma fórmula para S_{n} e calcular a soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{(2 n+1)(2 n+3)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série \r
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}\r
usando a ideia de séries telescópicas: vamos decompor o termo geral em frações parciais, somar as parcelas até n e depois passar ao limite.

Passo 2

Fazendo frações parciais, achamos constantes A\) e \(B\) tais que \r \[\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}. \r
Multiplicando em cruz: \r
1 = A(2n+3)+B(2n+1) = (2A+2B)n + (3A+B). \r
Igualando coeficientes em n e termo constante, obtemos \r
\begin{cases}2A+2B=0,\\\ 3A+B=1,\end{cases}\r
logo B=-A\] e \(3A - A=1\Rightarrow A=\tfrac12, B=-\tfrac12. \r
Portanto \r
\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\Bigr).

Passo 3

A soma parcial S_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} vira \r
\begin{aligned}\r S_{n}&=\frac12\sum_{k=1}^{n}\Bigl(\frac{1}{2k+1}-\frac{1}{2k+3}\Bigr)\\\ &=\frac12\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots+\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}\Bigr)\\\ &=\frac12\Bigl(\frac{1}{3}-\frac{1}{2n+3}\Bigr)\\\ &=\frac{1}{6}-\frac{1}{2(2n+3)}\\\ &=\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}.\r \end{aligned}

Passo 4

Como \r
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{4n+6}=0, \r
a sequência de somas parciais S_{n} converge, e o valor da série é \r
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\lim_{n\to\infty}S_{n}=\frac{1}{6}.

Resposta

A soma parcial é \r
\displaystyle S_{n}=\frac{1}{6}-\frac{1}{4n+6}, \r
e a série converge para \r
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{6}.

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