Verificar a convergência das séries
sum 2^nn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a série sum 2^nn converge ou não. Isso está ligado ao conteúdo de Séries Numéricas e Testes de Convergência. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que é ótimo para séries com termos exponenciais como essa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série convergente. Uma série sum an converge se a soma dos seus termos tende a um número finito quando adicionamos infinitos termos. Caso contrário, dizemos que a série diverge.

Passo 3

Agora, vamos aplicar o Teste da Razão. Esse teste diz que para uma série sum an, se o limite L = limn to infty | an+1an | for menor que 1, a série converge; se for maior que 1, a série diverge; e se for igual a 1, o teste não é conclusivo.

Passo 4

Vamos calcular esse limite para a nossa série:
an = 2^nn an+1 = 2^n+1n+1
Então,
an+1an = 2^n+1n+12^nn = 2^n+1 cdot n2^n cdot (n+1) = 2 cdot nn+1

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito:
L = limn to infty 2nn+1
Podemos dividir numerador e denominador por n:
L = limn to infty 21 + 1n = 21 + 0 = 2

Passo 6

Como o limite L = 2 é maior que 1, segundo o Teste da Razão, a série sum 2^nn diverge.

Resposta

A série sum 2^nn diverge.

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