Verificar a convergência das séries
sum(-5)^n-1 4^-n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se a série sum (-5)^n-1 4^-n converge ou não. Isso está dentro do conteúdo de Sequências e Séries, mais especificamente sobre Séries Geométricas. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma série geométrica e quais são os critérios para ela convergir.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que tipo de série estamos lidando. A série dada é sum (-5)^n-1 4^-n. Vamos simplificar isso para ver melhor. Sabemos que 4^-n = 14^n, então a série fica:
sumn=1^infty (-5)^n-14^n

Passo 3

Agora, vamos reescrever a expressão para identificar se é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma sumn=1^infty a cdot r^n-1, onde:
  • a é o primeiro termo da série.
  • r é a razão comum entre os termos.
Vamos manipular a nossa série para que ela se pareça com essa forma:
(-5)^n-14^n = (-5)^n-14^n-1 cdot 4 = 14 (-54)^n-1
Então, podemos ver que:
  • a é 14
  • r é -54

Passo 4

Sabemos que uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão r for menor que 1, ou seja, |r| < 1. Se |r| >= 1, a série não converge.
No nosso caso, temos:
r = -54 |r| = |-54| = 54 = 1.25
Como 1.25 > 1, o valor absoluto da razão é maior que 1.

Resposta

A série sum (-5)^n-1 4^-n não converge, pois a razão comum tem valor absoluto maior que 1.

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